Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84502 / 20375
↖ ↑ ↗
← N 76.906310°
E 52.091675°		 ← 69.19 m → N 76.906310°
E 52.094422°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.905688°
E 52.091675°		 ← 69.20 m →
4 787 m²		 N 76.905688°
E 52.094422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644702911376953 y=0.155452728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644702911376953 × 217)
    floor (0.644702911376953 × 131072)
    floor (84502.5)     		tx = 84502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155452728271484 × 217)
    floor (0.155452728271484 × 131072)
    floor (20375.5)     		ty = 20375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84502 / 20375 ti = "17/84502/20375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84502/20375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84502 ÷ 217
    84502 ÷ 131072     		x = 0.644699096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20375 ÷ 217
    20375 ÷ 131072     		y = 0.155448913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644699096679688 × 2 - 1) × π
    0.289398193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90917124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155448913574219 × 2 - 1) × π
    0.689102172851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.16487832374136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90917124} λ = 0.90917124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16487832374136))-π/2
    2×atan(8.71354162120214)-π/2
    2×1.45653232678195-π/2
    2.9130646535639-1.57079632675     		φ = 1.34226833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90917124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.091675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34226833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.906310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84502 KachelY 20375 0.90917124 1.34226833 52.091675 76.906310
    Oben rechts KachelX + 1 84503 KachelY 20375 0.90921918 1.34226833 52.094422 76.906310
    Unten links KachelX 84502 KachelY + 1 20376 0.90917124 1.34225747 52.091675 76.905688
    Unten rechts KachelX + 1 84503 KachelY + 1 20376 0.90921918 1.34225747 52.094422 76.905688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34226833-1.34225747) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34226833-1.34225747) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90917124-0.90921918) × cos(1.34226833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226544037008572 × 6371000     		do = 69.1923801458851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90917124-0.90921918) × cos(1.34225747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226554614645243 × 6371000     		du = 69.1956108283929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34226833)-sin(1.34225747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226544037008572-0.226554614645243)×R²
    abs(0.90921918-0.90917124)×1.05776366714494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05776366714494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05776366714494e-05×40589641000000     		ar = 4787.46750526391m²