Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8450 / 25044
↖ ↑ ↗
← N 39.010647°
W133.582764°		 ← 474.60 m → N 39.010647°
W133.577271°		 →
↑
474.64 m
↓
↑
474.64 m
↓
N 39.006379°
W133.582764°		 ← 474.63 m →
225 271 m²		 N 39.006379°
W133.577271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128944396972656 y=0.382148742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128944396972656 × 216)
    floor (0.128944396972656 × 65536)
    floor (8450.5)     		tx = 8450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382148742675781 × 216)
    floor (0.382148742675781 × 65536)
    floor (25044.5)     		ty = 25044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8450 / 25044 ti = "16/8450/25044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8450/25044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8450 ÷ 216
    8450 ÷ 65536     		x = 0.128936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25044 ÷ 216
    25044 ÷ 65536     		y = 0.38214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.74212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33145905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38214111328125 × 2 - 1) × π
    0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33145905} λ = -2.33145905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740529225330627))-π/2
    2×atan(2.09704503022602)-π/2
    2×1.12583028458092-π/2
    2.25166056916184-1.57079632675     		φ = 0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33145905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.582764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8450 KachelY 25044 -2.33145905 0.68086424 -133.582764 39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 8451 KachelY 25044 -2.33136318 0.68086424 -133.577271 39.010647
    Unten links KachelX 8450 KachelY + 1 25045 -2.33145905 0.68078974 -133.582764 39.006379
    Unten rechts KachelX + 1 8451 KachelY + 1 25045 -2.33136318 0.68078974 -133.577271 39.006379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68086424-0.68078974) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dl = 474.639499999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68086424-0.68078974) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dr = 474.639499999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33145905--2.33136318) × cos(0.68086424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 474.599810347138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33145905--2.33136318) × cos(0.68078974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777075893317891 × 6371000     		du = 474.628452000382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68086424)-sin(0.68078974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.777075893317891)×R²
    abs(-2.33136318--2.33145905)×4.68929710963906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68929710963906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68929710963906e-05×40589641000000     		ar = 225270.614017703m²