Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8450 / 25026
↖ ↑ ↗
← N 39.087436°
W133.582764°		 ← 474.08 m → N 39.087436°
W133.577271°		 →
↑
474.07 m
↓
↑
474.07 m
↓
N 39.083172°
W133.582764°		 ← 474.11 m →
224 754 m²		 N 39.083172°
W133.577271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128944396972656 y=0.381874084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128944396972656 × 216)
    floor (0.128944396972656 × 65536)
    floor (8450.5)     		tx = 8450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381874084472656 × 216)
    floor (0.381874084472656 × 65536)
    floor (25026.5)     		ty = 25026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8450 / 25026 ti = "16/8450/25026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8450/25026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8450 ÷ 216
    8450 ÷ 65536     		x = 0.128936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25026 ÷ 216
    25026 ÷ 65536     		y = 0.381866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.74212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33145905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381866455078125 × 2 - 1) × π
    0.23626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.742254953716949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33145905} λ = -2.33145905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.742254953716949))-π/2
    2×atan(2.10066708480436)-π/2
    2×1.12650039085113-π/2
    2.25300078170227-1.57079632675     		φ = 0.68220445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33145905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.582764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68220445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.087436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8450 KachelY 25026 -2.33145905 0.68220445 -133.582764 39.087436
    Oben rechts KachelX + 1 8451 KachelY 25026 -2.33136318 0.68220445 -133.577271 39.087436
    Unten links KachelX 8450 KachelY + 1 25027 -2.33145905 0.68213004 -133.582764 39.083172
    Unten rechts KachelX + 1 8451 KachelY + 1 25027 -2.33136318 0.68213004 -133.577271 39.083172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68220445-0.68213004) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dl = 474.066109999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68220445-0.68213004) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dr = 474.066109999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33145905--2.33136318) × cos(0.68220445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776184687746463 × 6371000     		do = 474.084114536798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33145905--2.33136318) × cos(0.68213004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776231601520421 × 6371000     		du = 474.112768896176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68220445)-sin(0.68213004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776184687746463-0.776231601520421)×R²
    abs(-2.33136318--2.33145905)×4.69137739582681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69137739582681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69137739582681e-05×40589641000000     		ar = 224754.004125254m²