Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 845 / 1339
↖ ↑ ↗
← S 48.341646°
W 31.464844°		 ← 12.992 km → S 48.341646°
W 31.289062°		 →
↑
12.977 km
↓
↑
12.977 km
↓
S 48.458352°
W 31.464844°		 ← 12.962 km →
168.405 km²		 S 48.458352°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412841796875 y=0.654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412841796875 × 211)
    floor (0.412841796875 × 2048)
    floor (845.5)     		tx = 845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654052734375 × 211)
    floor (0.654052734375 × 2048)
    floor (1339.5)     		ty = 1339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 845 / 1339 ti = "11/845/1339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/845/1339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 845 ÷ 211
    845 ÷ 2048     		x = 0.41259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1339 ÷ 211
    1339 ÷ 2048     		y = 0.65380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65380859375 × 2 - 1) × π
    -0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54916512} λ = -0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966407896340332))-π/2
    2×atan(0.380447192296693)-π/2
    2×0.363537717635603-π/2
    0.727075435271206-1.57079632675     		φ = -0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 845 KachelY 1339 -0.54916512 -0.84372089 -31.464844 -48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 846 KachelY 1339 -0.54609716 -0.84372089 -31.289062 -48.341646
    Unten links KachelX 845 KachelY + 1 1340 -0.54916512 -0.84575779 -31.464844 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 846 KachelY + 1 1340 -0.54609716 -0.84575779 -31.289062 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84372089--0.84575779) × R
    0.00203690000000001 × 6371000     		dl = 12977.0899000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84372089--0.84575779) × R
    0.00203690000000001 × 6371000     		dr = 12977.0899000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54916512--0.54609716) × cos(-0.84372089) × R
    0.00306795999999998 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 12991.9635770708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54916512--0.54609716) × cos(-0.84575779) × R
    0.00306795999999998 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 12962.1913531927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84372089)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.54609716--0.54916512)×0.00152318964292208×R²
    0.00306795999999998×0.00152318964292208×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152318964292208×40589641000000     		ar = 168404759.129691m²