Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8449 / 8966
↖ ↑ ↗
← S 16.762468°
E  5.646973°		 ← 2 339.40 m → S 16.762468°
E  5.668945°		 →
↑
2 339.30 m
↓
↑
2 339.30 m
↓
S 16.783505°
E  5.646973°		 ← 2 339.14 m →
5 472 263 m²		 S 16.783505°
E  5.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515716552734375 y=0.547271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515716552734375 × 214)
    floor (0.515716552734375 × 16384)
    floor (8449.5)     		tx = 8449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547271728515625 × 214)
    floor (0.547271728515625 × 16384)
    floor (8966.5)     		ty = 8966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8449 / 8966 ti = "14/8449/8966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8449/8966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8449 ÷ 214
    8449 ÷ 16384     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8966 ÷ 214
    8966 ÷ 16384     		y = 0.5472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.094482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.296825282447388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.296825282447388))-π/2
    2×atan(0.743173846535087)-π/2
    2×0.639118037182839-π/2
    1.27823607436568-1.57079632675     		φ = -0.29256025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29256025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.762468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8449 KachelY 8966 0.09855827 -0.29256025 5.646973 -16.762468
    Oben rechts KachelX + 1 8450 KachelY 8966 0.09894176 -0.29256025 5.668945 -16.762468
    Unten links KachelX 8449 KachelY + 1 8967 0.09855827 -0.29292743 5.646973 -16.783505
    Unten rechts KachelX + 1 8450 KachelY + 1 8967 0.09894176 -0.29292743 5.668945 -16.783505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29256025--0.29292743) × R
    0.000367179999999967 × 6371000     		dl = 2339.30377999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29256025--0.29292743) × R
    0.000367179999999967 × 6371000     		dr = 2339.30377999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(-0.29256025) × R
    0.00038349 × 0.957508626543065 × 6371000     		do = 2339.3992379226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(-0.29292743) × R
    0.00038349 × 0.957402665587518 × 6371000     		du = 2339.14035254885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29256025)-sin(-0.29292743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957508626543065-0.957402665587518)×R²
    abs(0.09894176-0.09855827)×0.000105960955546824×R²
    0.00038349×0.000105960955546824×6371000²
    0.00038349×0.000105960955546824×40589641000000     		ar = 5472262.73591554m²