Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8449 / 25042
↖ ↑ ↗
← N 39.019184°
W133.588257°		 ← 474.54 m → N 39.019184°
W133.582764°		 →
↑
474.58 m
↓
↑
474.58 m
↓
N 39.014916°
W133.588257°		 ← 474.57 m →
225 213 m²		 N 39.014916°
W133.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128929138183594 y=0.382118225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128929138183594 × 216)
    floor (0.128929138183594 × 65536)
    floor (8449.5)     		tx = 8449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382118225097656 × 216)
    floor (0.382118225097656 × 65536)
    floor (25042.5)     		ty = 25042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8449 / 25042 ti = "16/8449/25042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8449/25042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8449 ÷ 216
    8449 ÷ 65536     		x = 0.128921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25042 ÷ 216
    25042 ÷ 65536     		y = 0.382110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.742156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33155492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382110595703125 × 2 - 1) × π
    0.23577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.740720972929108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33155492} λ = -2.33155492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740720972929108))-π/2
    2×atan(2.09744717212811)-π/2
    2×1.12590477680725-π/2
    2.2518095536145-1.57079632675     		φ = 0.68101323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33155492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68101323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.019184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8449 KachelY 25042 -2.33155492 0.68101323 -133.588257 39.019184
    Oben rechts KachelX + 1 8450 KachelY 25042 -2.33145905 0.68101323 -133.582764 39.019184
    Unten links KachelX 8449 KachelY + 1 25043 -2.33155492 0.68093874 -133.588257 39.014916
    Unten rechts KachelX + 1 8450 KachelY + 1 25043 -2.33145905 0.68093874 -133.582764 39.014916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68101323-0.68093874) × R
    7.44900000000381e-05 × 6371000     		dl = 474.575790000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68101323-0.68093874) × R
    7.44900000000381e-05 × 6371000     		dr = 474.575790000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33155492--2.33145905) × cos(0.68101323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776935207762553 × 6371000     		do = 474.542522983766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33155492--2.33145905) × cos(0.68093874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776982103062993 × 6371000     		du = 474.571166059746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68101323)-sin(0.68093874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776935207762553-0.776982103062993)×R²
    abs(-2.33145905--2.33155492)×4.68953004408856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68953004408856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68953004408856e-05×40589641000000     		ar = 225213.189493081m²