Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8448 / 25043
↖ ↑ ↗
← N 39.014916°
W133.593750°		 ← 474.62 m → N 39.014916°
W133.588257°		 →
↑
474.64 m
↓
↑
474.64 m
↓
N 39.010647°
W133.593750°		 ← 474.65 m →
225 281 m²		 N 39.010647°
W133.588257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128913879394531 y=0.382133483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128913879394531 × 216)
    floor (0.128913879394531 × 65536)
    floor (8448.5)     		tx = 8448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382133483886719 × 216)
    floor (0.382133483886719 × 65536)
    floor (25043.5)     		ty = 25043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8448 / 25043 ti = "16/8448/25043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8448/25043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8448 ÷ 216
    8448 ÷ 65536     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25043 ÷ 216
    25043 ÷ 65536     		y = 0.382125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382125854492188 × 2 - 1) × π
    0.235748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.740625099129868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740625099129868))-π/2
    2×atan(2.09724609153834)-π/2
    2×1.12586753181808-π/2
    2.25173506363615-1.57079632675     		φ = 0.68093874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68093874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.014916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8448 KachelY 25043 -2.33165080 0.68093874 -133.593750 39.014916
    Oben rechts KachelX + 1 8449 KachelY 25043 -2.33155492 0.68093874 -133.588257 39.014916
    Unten links KachelX 8448 KachelY + 1 25044 -2.33165080 0.68086424 -133.593750 39.010647
    Unten rechts KachelX + 1 8449 KachelY + 1 25044 -2.33155492 0.68086424 -133.588257 39.010647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68093874-0.68086424) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dl = 474.639499999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68093874-0.68086424) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dr = 474.639499999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.33155492) × cos(0.68093874) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.776982103062993 × 6371000     		do = 474.620667589231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.33155492) × cos(0.68086424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.777029000346795 × 6371000     		du = 474.649314864449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68093874)-sin(0.68086424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776982103062993-0.777029000346795)×R²
    abs(-2.33155492--2.33165080)×4.68972838015835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.68972838015835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.68972838015835e-05×40589641000000     		ar = 225280.515022401m²