Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8447 / 5365
↖ ↑ ↗
← N 76.213823°
W 87.198486°		 ← 291.12 m → N 76.213823°
W 87.187500°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 76.211205°
W 87.198486°		 ← 291.17 m →
84 749 m²		 N 76.211205°
W 87.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257797241210938 y=0.163742065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257797241210938 × 215)
    floor (0.257797241210938 × 32768)
    floor (8447.5)     		tx = 8447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163742065429688 × 215)
    floor (0.163742065429688 × 32768)
    floor (5365.5)     		ty = 5365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8447 / 5365 ti = "15/8447/5365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8447/5365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8447 ÷ 215
    8447 ÷ 32768     		x = 0.257781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5365 ÷ 215
    5365 ÷ 32768     		y = 0.163726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.48443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52190069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163726806640625 × 2 - 1) × π
    0.67254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1128667876536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52190069} λ = -1.52190069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1128667876536))-π/2
    2×atan(8.27192116728522)-π/2
    2×1.45048923975901-π/2
    2.90097847951803-1.57079632675     		φ = 1.33018215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52190069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.198486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33018215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.213823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8447 KachelY 5365 -1.52190069 1.33018215 -87.198486 76.213823
    Oben rechts KachelX + 1 8448 KachelY 5365 -1.52170894 1.33018215 -87.187500 76.213823
    Unten links KachelX 8447 KachelY + 1 5366 -1.52190069 1.33013646 -87.198486 76.211205
    Unten rechts KachelX + 1 8448 KachelY + 1 5366 -1.52170894 1.33013646 -87.187500 76.211205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33018215-1.33013646) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33018215-1.33013646) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52190069--1.52170894) × cos(1.33018215) × R
    0.000191750000000157 × 0.23829915480151 × 6371000     		do = 291.115600747589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52190069--1.52170894) × cos(1.33013646) × R
    0.000191750000000157 × 0.238343528306112 × 6371000     		du = 291.169809162472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33018215)-sin(1.33013646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23829915480151-0.238343528306112)×R²
    abs(-1.52170894--1.52190069)×4.43735046028459e-05×R²
    0.000191750000000157×4.43735046028459e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.43735046028459e-05×40589641000000     		ar = 84749.0182318642m²