Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84467 / 20434
↖ ↑ ↗
← N 76.869548°
E 51.995545°		 ← 69.37 m → N 76.869548°
E 51.998291°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.868924°
E 51.995545°		 ← 69.37 m →
4 813 m²		 N 76.868924°
E 51.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644435882568359 y=0.155902862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644435882568359 × 217)
    floor (0.644435882568359 × 131072)
    floor (84467.5)     		tx = 84467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155902862548828 × 217)
    floor (0.155902862548828 × 131072)
    floor (20434.5)     		ty = 20434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84467 / 20434 ti = "17/84467/20434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84467/20434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84467 ÷ 217
    84467 ÷ 131072     		x = 0.644432067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20434 ÷ 217
    20434 ÷ 131072     		y = 0.155899047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644432067871094 × 2 - 1) × π
    0.288864135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.90749345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155899047851562 × 2 - 1) × π
    0.688201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16205004666377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90749345} λ = 0.90749345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16205004666377))-π/2
    2×atan(8.68893212880653)-π/2
    2×1.45621152047918-π/2
    2.91242304095835-1.57079632675     		φ = 1.34162671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90749345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.995545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34162671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.869548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84467 KachelY 20434 0.90749345 1.34162671 51.995545 76.869548
    Oben rechts KachelX + 1 84468 KachelY 20434 0.90754138 1.34162671 51.998291 76.869548
    Unten links KachelX 84467 KachelY + 1 20435 0.90749345 1.34161582 51.995545 76.868924
    Unten rechts KachelX + 1 84468 KachelY + 1 20435 0.90754138 1.34161582 51.998291 76.868924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34162671-1.34161582) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34162671-1.34161582) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90749345-0.90754138) × cos(1.34162671) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227168928806939 × 6371000     		do = 69.368765253294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90749345-0.90754138) × cos(1.34161582) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227179534078426 × 6371000     		du = 69.372003700524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34162671)-sin(1.34161582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227168928806939-0.227179534078426)×R²
    abs(0.90754138-0.90749345)×1.06052714871074e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06052714871074e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06052714871074e-05×40589641000000     		ar = 4812.93045535517m²