Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84465 / 20495
↖ ↑ ↗
← N 76.831434°
E 51.990051°		 ← 69.58 m → N 76.831434°
E 51.992798°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.830808°
E 51.990051°		 ← 69.58 m →
4 841 m²		 N 76.830808°
E 51.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644420623779297 y=0.156368255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644420623779297 × 217)
    floor (0.644420623779297 × 131072)
    floor (84465.5)     		tx = 84465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156368255615234 × 217)
    floor (0.156368255615234 × 131072)
    floor (20495.5)     		ty = 20495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84465 / 20495 ti = "17/84465/20495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84465/20495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84465 ÷ 217
    84465 ÷ 131072     		x = 0.644416809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20495 ÷ 217
    20495 ÷ 131072     		y = 0.156364440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644416809082031 × 2 - 1) × π
    0.288833618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.90739757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156364440917969 × 2 - 1) × π
    0.687271118164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.15912589578695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90739757} λ = 0.90739757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15912589578695))-π/2
    2×atan(8.66356149216607)-π/2
    2×1.45587890903437-π/2
    2.91175781806873-1.57079632675     		φ = 1.34096149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90739757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.990051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34096149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.831434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84465 KachelY 20495 0.90739757 1.34096149 51.990051 76.831434
    Oben rechts KachelX + 1 84466 KachelY 20495 0.90744551 1.34096149 51.992798 76.831434
    Unten links KachelX 84465 KachelY + 1 20496 0.90739757 1.34095057 51.990051 76.830808
    Unten rechts KachelX + 1 84466 KachelY + 1 20496 0.90744551 1.34095057 51.992798 76.830808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34096149-1.34095057) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34096149-1.34095057) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90739757-0.90744551) × cos(1.34096149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227816706563933 × 6371000     		do = 69.5810861866064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90739757-0.90744551) × cos(1.34095057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227827339398414 × 6371000     		du = 69.5843337279461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34096149)-sin(1.34095057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227816706563933-0.227827339398414)×R²
    abs(0.90744551-0.90739757)×1.06328344813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06328344813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06328344813e-05×40589641000000     		ar = 4840.96098084934m²