Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84465 / 20433
↖ ↑ ↗
← N 76.870172°
E 51.990051°		 ← 69.38 m → N 76.870172°
E 51.992798°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.869548°
E 51.990051°		 ← 69.38 m →
4 814 m²		 N 76.869548°
E 51.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644420623779297 y=0.155895233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644420623779297 × 217)
    floor (0.644420623779297 × 131072)
    floor (84465.5)     		tx = 84465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155895233154297 × 217)
    floor (0.155895233154297 × 131072)
    floor (20433.5)     		ty = 20433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84465 / 20433 ti = "17/84465/20433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84465/20433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84465 ÷ 217
    84465 ÷ 131072     		x = 0.644416809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20433 ÷ 217
    20433 ÷ 131072     		y = 0.155891418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644416809082031 × 2 - 1) × π
    0.288833618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.90739757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155891418457031 × 2 - 1) × π
    0.688217163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16209798356339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90739757} λ = 0.90739757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16209798356339))-π/2
    2×atan(8.6893486592573)-π/2
    2×1.45621696523906-π/2
    2.91243393047811-1.57079632675     		φ = 1.34163760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90739757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.990051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34163760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.870172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84465 KachelY 20433 0.90739757 1.34163760 51.990051 76.870172
    Oben rechts KachelX + 1 84466 KachelY 20433 0.90744551 1.34163760 51.992798 76.870172
    Unten links KachelX 84465 KachelY + 1 20434 0.90739757 1.34162671 51.990051 76.869548
    Unten rechts KachelX + 1 84466 KachelY + 1 20434 0.90744551 1.34162671 51.992798 76.869548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34163760-1.34162671) × R
    1.08900000002077e-05 × 6371000     		dl = 69.3801900013231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34163760-1.34162671) × R
    1.08900000002077e-05 × 6371000     		dr = 69.3801900013231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90739757-0.90744551) × cos(1.34163760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227158323508511 × 6371000     		do = 69.3799990547008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90739757-0.90744551) × cos(1.34162671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227168928806939 × 6371000     		du = 69.383238185821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34163760)-sin(1.34162671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227158323508511-0.227168928806939)×R²
    abs(0.90744551-0.90739757)×1.06052984277516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06052984277516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06052984277516e-05×40589641000000     		ar = 4813.70988244869m²