Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84464 / 20494
↖ ↑ ↗
← N 76.832060°
E 51.987305°		 ← 69.56 m → N 76.832060°
E 51.990051°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.831434°
E 51.987305°		 ← 69.57 m →
4 840 m²		 N 76.831434°
E 51.990051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644412994384766 y=0.156360626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644412994384766 × 217)
    floor (0.644412994384766 × 131072)
    floor (84464.5)     		tx = 84464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156360626220703 × 217)
    floor (0.156360626220703 × 131072)
    floor (20494.5)     		ty = 20494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84464 / 20494 ti = "17/84464/20494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84464/20494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84464 ÷ 217
    84464 ÷ 131072     		x = 0.6444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20494 ÷ 217
    20494 ÷ 131072     		y = 0.156356811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6444091796875 × 2 - 1) × π
    0.288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90734964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156356811523438 × 2 - 1) × π
    0.687286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15917383268657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90734964} λ = 0.90734964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15917383268657))-π/2
    2×atan(8.66397680639803)-π/2
    2×1.4558843693202-π/2
    2.9117687386404-1.57079632675     		φ = 1.34097241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90734964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34097241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.832060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84464 KachelY 20494 0.90734964 1.34097241 51.987305 76.832060
    Oben rechts KachelX + 1 84465 KachelY 20494 0.90739757 1.34097241 51.990051 76.832060
    Unten links KachelX 84464 KachelY + 1 20495 0.90734964 1.34096149 51.987305 76.831434
    Unten rechts KachelX + 1 84465 KachelY + 1 20495 0.90739757 1.34096149 51.990051 76.831434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34097241-1.34096149) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34097241-1.34096149) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90734964-0.90739757) × cos(1.34097241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227806073702285 × 6371000     		do = 69.563325112102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90734964-0.90739757) × cos(1.34096149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227816706563933 × 6371000     		du = 69.5665719843194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34097241)-sin(1.34096149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227806073702285-0.227816706563933)×R²
    abs(0.90739757-0.90734964)×1.0632861647597e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0632861647597e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0632861647597e-05×40589641000000     		ar = 4839.72529643874m²