Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84454 / 20474
↖ ↑ ↗
← N 76.844568°
E 51.959839°		 ← 69.50 m → N 76.844568°
E 51.962585°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.843943°
E 51.959839°		 ← 69.50 m →
4 831 m²		 N 76.843943°
E 51.962585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644336700439453 y=0.156208038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644336700439453 × 217)
    floor (0.644336700439453 × 131072)
    floor (84454.5)     		tx = 84454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156208038330078 × 217)
    floor (0.156208038330078 × 131072)
    floor (20474.5)     		ty = 20474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84454 / 20474 ti = "17/84454/20474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84454/20474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84454 ÷ 217
    84454 ÷ 131072     		x = 0.644332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20474 ÷ 217
    20474 ÷ 131072     		y = 0.156204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644332885742188 × 2 - 1) × π
    0.288665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90687027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156204223632812 × 2 - 1) × π
    0.687591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16013257067897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90687027} λ = 0.90687027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16013257067897))-π/2
    2×atan(8.67228727327121)-π/2
    2×1.45599352153102-π/2
    2.91198704306204-1.57079632675     		φ = 1.34119072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90687027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34119072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.844568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84454 KachelY 20474 0.90687027 1.34119072 51.959839 76.844568
    Oben rechts KachelX + 1 84455 KachelY 20474 0.90691820 1.34119072 51.962585 76.844568
    Unten links KachelX 84454 KachelY + 1 20475 0.90687027 1.34117981 51.959839 76.843943
    Unten rechts KachelX + 1 84455 KachelY + 1 20475 0.90691820 1.34117981 51.962585 76.843943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34119072-1.34117981) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34119072-1.34117981) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90687027-0.90691820) × cos(1.34119072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22759349840442 × 6371000     		do = 69.4984126876181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90687027-0.90691820) × cos(1.34117981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227604122071367 × 6371000     		du = 69.5016567521229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34119072)-sin(1.34117981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22759349840442-0.227604122071367)×R²
    abs(0.90691820-0.90687027)×1.06236669464577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06236669464577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06236669464577e-05×40589641000000     		ar = 4830.78130841494m²