Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84444 / 20408
↖ ↑ ↗
← N 76.885761°
E 51.932373°		 ← 69.28 m → N 76.885761°
E 51.935119°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.885138°
E 51.932373°		 ← 69.29 m →
4 803 m²		 N 76.885138°
E 51.935119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644260406494141 y=0.155704498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644260406494141 × 217)
    floor (0.644260406494141 × 131072)
    floor (84444.5)     		tx = 84444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155704498291016 × 217)
    floor (0.155704498291016 × 131072)
    floor (20408.5)     		ty = 20408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84444 / 20408 ti = "17/84444/20408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84444/20408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84444 ÷ 217
    84444 ÷ 131072     		x = 0.644256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20408 ÷ 217
    20408 ÷ 131072     		y = 0.15570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644256591796875 × 2 - 1) × π
    0.28851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90639090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15570068359375 × 2 - 1) × π
    0.6885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16329640605389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90639090} λ = 0.90639090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16329640605389))-π/2
    2×atan(8.69976841250459)-π/2
    2×1.4563530016581-π/2
    2.9127060033162-1.57079632675     		φ = 1.34190968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90639090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34190968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.885761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84444 KachelY 20408 0.90639090 1.34190968 51.932373 76.885761
    Oben rechts KachelX + 1 84445 KachelY 20408 0.90643883 1.34190968 51.935119 76.885761
    Unten links KachelX 84444 KachelY + 1 20409 0.90639090 1.34189880 51.932373 76.885138
    Unten rechts KachelX + 1 84445 KachelY + 1 20409 0.90643883 1.34189880 51.935119 76.885138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34190968-1.34189880) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dl = 69.3164800002957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34190968-1.34189880) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dr = 69.3164800002957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90639090-0.90643883) × cos(1.34190968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226893347862195 × 6371000     		do = 69.2846132967385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90639090-0.90643883) × cos(1.34189880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226903944094133 × 6371000     		du = 69.2878489836335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34190968)-sin(1.34189880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226893347862195-0.226903944094133)×R²
    abs(0.90643883-0.90639090)×1.0596231938359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0596231938359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0596231938359e-05×40589641000000     		ar = 4802.67765516367m²