Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84443 / 20474
↖ ↑ ↗
← N 76.844568°
E 51.929626°		 ← 69.51 m → N 76.844568°
E 51.932373°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.843943°
E 51.929626°		 ← 69.52 m →
4 832 m²		 N 76.843943°
E 51.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644252777099609 y=0.156208038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644252777099609 × 217)
    floor (0.644252777099609 × 131072)
    floor (84443.5)     		tx = 84443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156208038330078 × 217)
    floor (0.156208038330078 × 131072)
    floor (20474.5)     		ty = 20474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84443 / 20474 ti = "17/84443/20474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84443/20474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84443 ÷ 217
    84443 ÷ 131072     		x = 0.644248962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20474 ÷ 217
    20474 ÷ 131072     		y = 0.156204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644248962402344 × 2 - 1) × π
    0.288497924804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.90634296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156204223632812 × 2 - 1) × π
    0.687591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16013257067897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90634296} λ = 0.90634296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16013257067897))-π/2
    2×atan(8.67228727327121)-π/2
    2×1.45599352153102-π/2
    2.91198704306204-1.57079632675     		φ = 1.34119072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90634296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.929626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34119072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.844568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84443 KachelY 20474 0.90634296 1.34119072 51.929626 76.844568
    Oben rechts KachelX + 1 84444 KachelY 20474 0.90639090 1.34119072 51.932373 76.844568
    Unten links KachelX 84443 KachelY + 1 20475 0.90634296 1.34117981 51.929626 76.843943
    Unten rechts KachelX + 1 84444 KachelY + 1 20475 0.90639090 1.34117981 51.932373 76.843943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34119072-1.34117981) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34119072-1.34117981) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90634296-0.90639090) × cos(1.34119072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22759349840442 × 6371000     		do = 69.5129126693133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90634296-0.90639090) × cos(1.34117981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227604122071367 × 6371000     		du = 69.5161574106519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34119072)-sin(1.34117981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22759349840442-0.227604122071367)×R²
    abs(0.90639090-0.90634296)×1.06236669464577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06236669464577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06236669464577e-05×40589641000000     		ar = 4831.7891910102m²