Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84441 / 19799
↖ ↑ ↗
← N 77.259931°
E 51.924133°		 ← 67.34 m → N 77.259931°
E 51.926880°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.259326°
E 51.924133°		 ← 67.34 m →
4 535 m²		 N 77.259326°
E 51.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644237518310547 y=0.151058197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644237518310547 × 217)
    floor (0.644237518310547 × 131072)
    floor (84441.5)     		tx = 84441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151058197021484 × 217)
    floor (0.151058197021484 × 131072)
    floor (19799.5)     		ty = 19799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84441 / 19799 ti = "17/84441/19799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84441/19799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84441 ÷ 217
    84441 ÷ 131072     		x = 0.644233703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19799 ÷ 217
    19799 ÷ 131072     		y = 0.151054382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644233703613281 × 2 - 1) × π
    0.288467407226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.90624709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151054382324219 × 2 - 1) × π
    0.697891235351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.19248997792251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90624709} λ = 0.90624709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19248997792251))-π/2
    2×atan(8.95748932020786)-π/2
    2×1.45961825254401-π/2
    2.91923650508802-1.57079632675     		φ = 1.34844018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90624709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.924133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34844018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.259931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84441 KachelY 19799 0.90624709 1.34844018 51.924133 77.259931
    Oben rechts KachelX + 1 84442 KachelY 19799 0.90629502 1.34844018 51.926880 77.259931
    Unten links KachelX 84441 KachelY + 1 19800 0.90624709 1.34842961 51.924133 77.259326
    Unten rechts KachelX + 1 84442 KachelY + 1 19800 0.90629502 1.34842961 51.926880 77.259326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34844018-1.34842961) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dl = 67.3414700009816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34844018-1.34842961) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dr = 67.3414700009816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90624709-0.90629502) × cos(1.34844018) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220528372858096 × 6371000     		do = 67.3409916084303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90624709-0.90629502) × cos(1.34842961) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220538682618295 × 6371000     		du = 67.3441398177336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34844018)-sin(1.34842961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220528372858096-0.220538682618295)×R²
    abs(0.90629502-0.90624709)×1.03097601995839e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03097601995839e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03097601995839e-05×40589641000000     		ar = 4534.94736866863m²