Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84440 / 20458
↖ ↑ ↗
← N 76.854565°
E 51.921387°		 ← 69.46 m → N 76.854565°
E 51.924133°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.853941°
E 51.921387°		 ← 69.46 m →
4 824 m²		 N 76.853941°
E 51.924133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644229888916016 y=0.156085968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644229888916016 × 217)
    floor (0.644229888916016 × 131072)
    floor (84440.5)     		tx = 84440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156085968017578 × 217)
    floor (0.156085968017578 × 131072)
    floor (20458.5)     		ty = 20458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84440 / 20458 ti = "17/84440/20458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84440/20458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84440 ÷ 217
    84440 ÷ 131072     		x = 0.64422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20458 ÷ 217
    20458 ÷ 131072     		y = 0.156082153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64422607421875 × 2 - 1) × π
    0.2884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90619915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156082153320312 × 2 - 1) × π
    0.687835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16089956107289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90619915} λ = 0.90619915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16089956107289))-π/2
    2×atan(8.67894138579712)-π/2
    2×1.45608076996016-π/2
    2.91216153992032-1.57079632675     		φ = 1.34136521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90619915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34136521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.854565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84440 KachelY 20458 0.90619915 1.34136521 51.921387 76.854565
    Oben rechts KachelX + 1 84441 KachelY 20458 0.90624709 1.34136521 51.924133 76.854565
    Unten links KachelX 84440 KachelY + 1 20459 0.90619915 1.34135431 51.921387 76.853941
    Unten rechts KachelX + 1 84441 KachelY + 1 20459 0.90624709 1.34135431 51.924133 76.853941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34136521-1.34135431) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34136521-1.34135431) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90619915-0.90624709) × cos(1.34136521) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227423584215607 × 6371000     		do = 69.4610165026195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90619915-0.90624709) × cos(1.34135431) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227434198577734 × 6371000     		du = 69.4642584020267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34136521)-sin(1.34135431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227423584215607-0.227434198577734)×R²
    abs(0.90624709-0.90619915)×1.06143621269594e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06143621269594e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06143621269594e-05×40589641000000     		ar = 4823.75644899011m²