Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8444 / 5896
↖ ↑ ↗
← N 44.964798°
E  5.537109°		 ← 1 728.67 m → N 44.964798°
E  5.559082°		 →
↑
1 728.90 m
↓
↑
1 728.90 m
↓
N 44.949249°
E  5.537109°		 ← 1 729.14 m →
2 989 108 m²		 N 44.949249°
E  5.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515411376953125 y=0.359893798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515411376953125 × 214)
    floor (0.515411376953125 × 16384)
    floor (8444.5)     		tx = 8444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359893798828125 × 214)
    floor (0.359893798828125 × 16384)
    floor (5896.5)     		ty = 5896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8444 / 5896 ti = "14/8444/5896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8444/5896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8444 ÷ 214
    8444 ÷ 16384     		x = 0.515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5896 ÷ 214
    5896 ÷ 16384     		y = 0.35986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515380859375 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09664079} λ = 0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880504972221191))-π/2
    2×atan(2.4121174512348)-π/2
    2×1.17779004907765-π/2
    2.3555800981553-1.57079632675     		φ = 0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8444 KachelY 5896 0.09664079 0.78478377 5.537109 44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 8445 KachelY 5896 0.09702428 0.78478377 5.559082 44.964798
    Unten links KachelX 8444 KachelY + 1 5897 0.09664079 0.78451240 5.537109 44.949249
    Unten rechts KachelX + 1 8445 KachelY + 1 5897 0.09702428 0.78451240 5.559082 44.949249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78478377-0.78451240) × R
    0.000271369999999993 × 6371000     		dl = 1728.89826999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78478377-0.78451240) × R
    0.000271369999999993 × 6371000     		dr = 1728.89826999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09664079-0.09702428) × cos(0.78478377) × R
    0.00038349 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 1728.67485424716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09664079-0.09702428) × cos(0.78451240) × R
    0.00038349 × 0.707732833019741 × 6371000     		du = 1729.14332500243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78478377)-sin(0.78451240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707732833019741)×R²
    abs(0.09702428-0.09664079)×0.000191743581937187×R²
    0.00038349×0.000191743581937187×6371000²
    0.00038349×0.000191743581937187×40589641000000     		ar = 2989107.95238326m²