Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8444 / 25034
↖ ↑ ↗
← N 39.053318°
W133.615723°		 ← 474.31 m → N 39.053318°
W133.610230°		 →
↑
474.32 m
↓
↑
474.32 m
↓
N 39.049052°
W133.615723°		 ← 474.34 m →
224 984 m²		 N 39.049052°
W133.610230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128852844238281 y=0.381996154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128852844238281 × 216)
    floor (0.128852844238281 × 65536)
    floor (8444.5)     		tx = 8444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381996154785156 × 216)
    floor (0.381996154785156 × 65536)
    floor (25034.5)     		ty = 25034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8444 / 25034 ti = "16/8444/25034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8444/25034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8444 ÷ 216
    8444 ÷ 65536     		x = 0.12884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25034 ÷ 216
    25034 ÷ 65536     		y = 0.381988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381988525390625 × 2 - 1) × π
    0.23602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.741487963323029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33203429} λ = -2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741487963323029))-π/2
    2×atan(2.09905651105574)-π/2
    2×1.1262026557849-π/2
    2.25240531156979-1.57079632675     		φ = 0.68160898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68160898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.053318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8444 KachelY 25034 -2.33203429 0.68160898 -133.615723 39.053318
    Oben rechts KachelX + 1 8445 KachelY 25034 -2.33193842 0.68160898 -133.610230 39.053318
    Unten links KachelX 8444 KachelY + 1 25035 -2.33203429 0.68153453 -133.615723 39.049052
    Unten rechts KachelX + 1 8445 KachelY + 1 25035 -2.33193842 0.68153453 -133.610230 39.049052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68160898-0.68153453) × R
    7.44500000000592e-05 × 6371000     		dl = 474.320950000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68160898-0.68153453) × R
    7.44500000000592e-05 × 6371000     		dr = 474.320950000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33203429--2.33193842) × cos(0.68160898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776559997291287 × 6371000     		do = 474.313349016741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33203429--2.33193842) × cos(0.68153453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776606901863404 × 6371000     		du = 474.341997755747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68160898)-sin(0.68153453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776559997291287-0.776606901863404)×R²
    abs(-2.33193842--2.33203429)×4.69045721164241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69045721164241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69045721164241e-05×40589641000000     		ar = 224983.552755866m²