Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84439 / 20431
↖ ↑ ↗
← N 76.871420°
E 51.918640°		 ← 69.37 m → N 76.871420°
E 51.921387°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.870796°
E 51.918640°		 ← 69.38 m →
4 813 m²		 N 76.870796°
E 51.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644222259521484 y=0.155879974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644222259521484 × 217)
    floor (0.644222259521484 × 131072)
    floor (84439.5)     		tx = 84439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155879974365234 × 217)
    floor (0.155879974365234 × 131072)
    floor (20431.5)     		ty = 20431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84439 / 20431 ti = "17/84439/20431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84439/20431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84439 ÷ 217
    84439 ÷ 131072     		x = 0.644218444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20431 ÷ 217
    20431 ÷ 131072     		y = 0.155876159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644218444824219 × 2 - 1) × π
    0.288436889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.90615121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155876159667969 × 2 - 1) × π
    0.688247680664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.16219385736263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90615121} λ = 0.90615121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16219385736263))-π/2
    2×atan(8.69018178006277)-π/2
    2×1.4562278539963-π/2
    2.9124557079926-1.57079632675     		φ = 1.34165938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90615121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.918640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34165938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.871420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84439 KachelY 20431 0.90615121 1.34165938 51.918640 76.871420
    Oben rechts KachelX + 1 84440 KachelY 20431 0.90619915 1.34165938 51.921387 76.871420
    Unten links KachelX 84439 KachelY + 1 20432 0.90615121 1.34164849 51.918640 76.870796
    Unten rechts KachelX + 1 84440 KachelY + 1 20432 0.90619915 1.34164849 51.921387 76.870796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34165938-1.34164849) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34165938-1.34164849) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90615121-0.90619915) × cos(1.34165938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227137112830839 × 6371000     		do = 69.3735207677772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90615121-0.90619915) × cos(1.34164849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227147718183144 × 6371000     		du = 69.3767599153527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34165938)-sin(1.34164849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227137112830839-0.227147718183144)×R²
    abs(0.90619915-0.90615121)×1.06053523046268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06053523046268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06053523046268e-05×40589641000000     		ar = 4813.26041819672m²