Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84436 / 20418
↖ ↑ ↗
← N 76.879528°
E 51.910400°		 ← 69.33 m → N 76.879528°
E 51.913147°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.878904°
E 51.910400°		 ← 69.33 m →
4 810 m²		 N 76.878904°
E 51.913147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644199371337891 y=0.155780792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644199371337891 × 217)
    floor (0.644199371337891 × 131072)
    floor (84436.5)     		tx = 84436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155780792236328 × 217)
    floor (0.155780792236328 × 131072)
    floor (20418.5)     		ty = 20418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84436 / 20418 ti = "17/84436/20418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84436/20418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84436 ÷ 217
    84436 ÷ 131072     		x = 0.644195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20418 ÷ 217
    20418 ÷ 131072     		y = 0.155776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644195556640625 × 2 - 1) × π
    0.28839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90600740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155776977539062 × 2 - 1) × π
    0.688446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16281703705769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90600740} λ = 0.90600740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16281703705769))-π/2
    2×atan(8.69559901267386)-π/2
    2×1.45629860614245-π/2
    2.91259721228489-1.57079632675     		φ = 1.34180089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90600740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34180089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.879528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84436 KachelY 20418 0.90600740 1.34180089 51.910400 76.879528
    Oben rechts KachelX + 1 84437 KachelY 20418 0.90605534 1.34180089 51.913147 76.879528
    Unten links KachelX 84436 KachelY + 1 20419 0.90600740 1.34179000 51.910400 76.878904
    Unten rechts KachelX + 1 84437 KachelY + 1 20419 0.90605534 1.34179000 51.913147 76.878904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34180089-1.34179000) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34180089-1.34179000) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90600740-0.90605534) × cos(1.34180089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226999299233796 × 6371000     		do = 69.3314289479181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90600740-0.90605534) × cos(1.34179000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227009904936031 × 6371000     		du = 69.3346682023714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34180089)-sin(1.34179000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226999299233796-0.227009904936031)×R²
    abs(0.90605534-0.90600740)×1.06057022348782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06057022348782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06057022348782e-05×40589641000000     		ar = 4810.34008345676m²