Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8443 / 5902
↖ ↑ ↗
← N 44.871443°
E  5.515136°		 ← 1 731.53 m → N 44.871443°
E  5.537109°		 →
↑
1 731.77 m
↓
↑
1 731.77 m
↓
N 44.855869°
E  5.515136°		 ← 1 732 m →
2 999 011 m²		 N 44.855869°
E  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515350341796875 y=0.360260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515350341796875 × 214)
    floor (0.515350341796875 × 16384)
    floor (8443.5)     		tx = 8443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360260009765625 × 214)
    floor (0.360260009765625 × 16384)
    floor (5902.5)     		ty = 5902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8443 / 5902 ti = "14/8443/5902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8443/5902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8443 ÷ 214
    8443 ÷ 16384     		x = 0.51531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5902 ÷ 214
    5902 ÷ 16384     		y = 0.3602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51531982421875 × 2 - 1) × π
    0.0306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09625729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3602294921875 × 2 - 1) × π
    0.279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.878204001039429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09625729} λ = 0.09625729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878204001039429))-π/2
    2×atan(2.40657361903752)-π/2
    2×1.17697537144382-π/2
    2.35395074288764-1.57079632675     		φ = 0.78315442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09625729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.515136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78315442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.871443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8443 KachelY 5902 0.09625729 0.78315442 5.515136 44.871443
    Oben rechts KachelX + 1 8444 KachelY 5902 0.09664079 0.78315442 5.537109 44.871443
    Unten links KachelX 8443 KachelY + 1 5903 0.09625729 0.78288260 5.515136 44.855869
    Unten rechts KachelX + 1 8444 KachelY + 1 5903 0.09664079 0.78288260 5.537109 44.855869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78315442-0.78288260) × R
    0.000271820000000034 × 6371000     		dl = 1731.76522000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78315442-0.78288260) × R
    0.000271820000000034 × 6371000     		dr = 1731.76522000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09625729-0.09664079) × cos(0.78315442) × R
    0.000383500000000009 × 0.708691566103956 × 6371000     		do = 1731.53086659316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09625729-0.09664079) × cos(0.78288260) × R
    0.000383500000000009 × 0.708883313941751 × 6371000     		du = 1731.99935996267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78315442)-sin(0.78288260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708691566103956-0.708883313941751)×R²
    abs(0.09664079-0.09625729)×0.000191747837794853×R²
    0.000383500000000009×0.000191747837794853×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191747837794853×40589641000000     		ar = 2999010.61084872m²