Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8443 / 24859
↖ ↑ ↗
← N 39.795876°
W133.621216°		 ← 469.34 m → N 39.795876°
W133.615723°		 →
↑
469.35 m
↓
↑
469.35 m
↓
N 39.791655°
W133.621216°		 ← 469.36 m →
220 290 m²		 N 39.791655°
W133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128837585449219 y=0.379325866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128837585449219 × 216)
    floor (0.128837585449219 × 65536)
    floor (8443.5)     		tx = 8443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379325866699219 × 216)
    floor (0.379325866699219 × 65536)
    floor (24859.5)     		ty = 24859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8443 / 24859 ti = "16/8443/24859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8443/24859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8443 ÷ 216
    8443 ÷ 65536     		x = 0.128829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24859 ÷ 216
    24859 ÷ 65536     		y = 0.379318237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33213017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379318237304688 × 2 - 1) × π
    0.241363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.758265878190048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33213017} λ = -2.33213017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758265878190048))-π/2
    2×atan(2.13457140229859)-π/2
    2×1.13268269170425-π/2
    2.26536538340851-1.57079632675     		φ = 0.69456906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33213017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69456906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.795876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8443 KachelY 24859 -2.33213017 0.69456906 -133.621216 39.795876
    Oben rechts KachelX + 1 8444 KachelY 24859 -2.33203429 0.69456906 -133.615723 39.795876
    Unten links KachelX 8443 KachelY + 1 24860 -2.33213017 0.69449539 -133.621216 39.791655
    Unten rechts KachelX + 1 8444 KachelY + 1 24860 -2.33203429 0.69449539 -133.615723 39.791655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69456906-0.69449539) × R
    7.36699999999146e-05 × 6371000     		dl = 469.351569999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69456906-0.69449539) × R
    7.36699999999146e-05 × 6371000     		dr = 469.351569999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33213017--2.33203429) × cos(0.69456906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768329598167488 × 6371000     		do = 469.335272168108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33213017--2.33203429) × cos(0.69449539) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768376748889761 × 6371000     		du = 469.364074256591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69456906)-sin(0.69449539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768329598167488-0.768376748889761)×R²
    abs(-2.33203429--2.33213017)×4.71507222724599e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71507222724599e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71507222724599e-05×40589641000000     		ar = 220290.006100869m²