Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84425 / 20547
↖ ↑ ↗
← N 76.798857°
E 51.880188°		 ← 69.74 m → N 76.798857°
E 51.882934°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.798230°
E 51.880188°		 ← 69.74 m →
4 865 m²		 N 76.798230°
E 51.882934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644115447998047 y=0.156764984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644115447998047 × 217)
    floor (0.644115447998047 × 131072)
    floor (84425.5)     		tx = 84425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156764984130859 × 217)
    floor (0.156764984130859 × 131072)
    floor (20547.5)     		ty = 20547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84425 / 20547 ti = "17/84425/20547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84425/20547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84425 ÷ 217
    84425 ÷ 131072     		x = 0.644111633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20547 ÷ 217
    20547 ÷ 131072     		y = 0.156761169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644111633300781 × 2 - 1) × π
    0.288223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.90548010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156761169433594 × 2 - 1) × π
    0.686477661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.15663317700671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90548010} λ = 0.90548010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15663317700671))-π/2
    2×atan(8.64199256353597)-π/2
    2×1.45559462269363-π/2
    2.91118924538726-1.57079632675     		φ = 1.34039292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90548010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.880188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34039292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.798857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84425 KachelY 20547 0.90548010 1.34039292 51.880188 76.798857
    Oben rechts KachelX + 1 84426 KachelY 20547 0.90552803 1.34039292 51.882934 76.798857
    Unten links KachelX 84425 KachelY + 1 20548 0.90548010 1.34038197 51.880188 76.798230
    Unten rechts KachelX + 1 84426 KachelY + 1 20548 0.90552803 1.34038197 51.882934 76.798230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34039292-1.34038197) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34039292-1.34038197) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90548010-0.90552803) × cos(1.34039292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228370288614049 × 6371000     		do = 69.7356149229146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90548010-0.90552803) × cos(1.34038197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228380949239469 × 6371000     		du = 69.738870273134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34039292)-sin(1.34038197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228370288614049-0.228380949239469)×R²
    abs(0.90552803-0.90548010)×1.06606254204611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06606254204611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06606254204611e-05×40589641000000     		ar = 4865.04090002306m²