Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8442 / 5619
↖ ↑ ↗
← N 49.109838°
E  5.493164°		 ← 1 599.36 m → N 49.109838°
E  5.515136°		 →
↑
1 599.57 m
↓
↑
1 599.57 m
↓
N 49.095452°
E  5.493164°		 ← 1 599.82 m →
2 558 647 m²		 N 49.095452°
E  5.515136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515289306640625 y=0.342987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515289306640625 × 214)
    floor (0.515289306640625 × 16384)
    floor (8442.5)     		tx = 8442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342987060546875 × 214)
    floor (0.342987060546875 × 16384)
    floor (5619.5)     		ty = 5619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8442 / 5619 ti = "14/8442/5619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8442/5619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8442 ÷ 214
    8442 ÷ 16384     		x = 0.5152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5619 ÷ 214
    5619 ÷ 16384     		y = 0.34295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5152587890625 × 2 - 1) × π
    0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    0.3140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986733141779236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09587380} λ = 0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986733141779236))-π/2
    2×atan(2.68245693617878)-π/2
    2×1.21396234567071-π/2
    2.42792469134142-1.57079632675     		φ = 0.85712836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85712836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.109838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8442 KachelY 5619 0.09587380 0.85712836 5.493164 49.109838
    Oben rechts KachelX + 1 8443 KachelY 5619 0.09625729 0.85712836 5.515136 49.109838
    Unten links KachelX 8442 KachelY + 1 5620 0.09587380 0.85687729 5.493164 49.095452
    Unten rechts KachelX + 1 8443 KachelY + 1 5620 0.09625729 0.85687729 5.515136 49.095452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85712836-0.85687729) × R
    0.00025107000000002 × 6371000     		dl = 1599.56697000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85712836-0.85687729) × R
    0.00025107000000002 × 6371000     		dr = 1599.56697000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09587380-0.09625729) × cos(0.85712836) × R
    0.00038349 × 0.654611026089344 × 6371000     		do = 1599.35534063856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09587380-0.09625729) × cos(0.85687729) × R
    0.00038349 × 0.654800805807568 × 6371000     		du = 1599.81901325297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85712836)-sin(0.85687729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654611026089344-0.654800805807568)×R²
    abs(0.09625729-0.09587380)×0.000189779718223981×R²
    0.00038349×0.000189779718223981×6371000²
    0.00038349×0.000189779718223981×40589641000000     		ar = 2558646.82731733m²