Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8442 / 24976
↖ ↑ ↗
← N 39.300299°
W133.626709°		 ← 472.65 m → N 39.300299°
W133.621216°		 →
↑
472.73 m
↓
↑
472.73 m
↓
N 39.296048°
W133.626709°		 ← 472.68 m →
223 442 m²		 N 39.296048°
W133.621216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128822326660156 y=0.381111145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128822326660156 × 216)
    floor (0.128822326660156 × 65536)
    floor (8442.5)     		tx = 8442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381111145019531 × 216)
    floor (0.381111145019531 × 65536)
    floor (24976.5)     		ty = 24976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8442 / 24976 ti = "16/8442/24976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8442/24976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8442 ÷ 216
    8442 ÷ 65536     		x = 0.128814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24976 ÷ 216
    24976 ÷ 65536     		y = 0.381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.74237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33222604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    0.23779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.747048643678955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33222604} λ = -2.33222604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747048643678955))-π/2
    2×atan(2.11076120623681)-π/2
    2×1.12835797229777-π/2
    2.25671594459554-1.57079632675     		φ = 0.68591962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33222604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68591962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.300299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8442 KachelY 24976 -2.33222604 0.68591962 -133.626709 39.300299
    Oben rechts KachelX + 1 8443 KachelY 24976 -2.33213017 0.68591962 -133.621216 39.300299
    Unten links KachelX 8442 KachelY + 1 24977 -2.33222604 0.68584542 -133.626709 39.296048
    Unten rechts KachelX + 1 8443 KachelY + 1 24977 -2.33213017 0.68584542 -133.621216 39.296048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68591962-0.68584542) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dl = 472.728199999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68591962-0.68584542) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dr = 472.728199999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33222604--2.33213017) × cos(0.68591962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773836900955659 × 6371000     		do = 472.650115078407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33222604--2.33213017) × cos(0.68584542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773883895986085 × 6371000     		du = 472.678819068242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68591962)-sin(0.68584542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773836900955659-0.773883895986085)×R²
    abs(-2.33213017--2.33222604)×4.69950304260447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69950304260447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69950304260447e-05×40589641000000     		ar = 223441.822825479m²