Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8442 / 24858
↖ ↑ ↗
← N 39.800096°
W133.626709°		 ← 469.26 m → N 39.800096°
W133.621216°		 →
↑
469.29 m
↓
↑
469.29 m
↓
N 39.795876°
W133.626709°		 ← 469.29 m →
220 224 m²		 N 39.795876°
W133.621216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128822326660156 y=0.379310607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128822326660156 × 216)
    floor (0.128822326660156 × 65536)
    floor (8442.5)     		tx = 8442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379310607910156 × 216)
    floor (0.379310607910156 × 65536)
    floor (24858.5)     		ty = 24858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8442 / 24858 ti = "16/8442/24858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8442/24858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8442 ÷ 216
    8442 ÷ 65536     		x = 0.128814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24858 ÷ 216
    24858 ÷ 65536     		y = 0.379302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.74237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33222604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379302978515625 × 2 - 1) × π
    0.24139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.758361751989288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33222604} λ = -2.33222604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758361751989288))-π/2
    2×atan(2.13477606157926)-π/2
    2×1.1327195219131-π/2
    2.2654390438262-1.57079632675     		φ = 0.69464272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33222604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69464272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.800096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8442 KachelY 24858 -2.33222604 0.69464272 -133.626709 39.800096
    Oben rechts KachelX + 1 8443 KachelY 24858 -2.33213017 0.69464272 -133.621216 39.800096
    Unten links KachelX 8442 KachelY + 1 24859 -2.33222604 0.69456906 -133.626709 39.795876
    Unten rechts KachelX + 1 8443 KachelY + 1 24859 -2.33213017 0.69456906 -133.621216 39.795876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69464272-0.69456906) × R
    7.36600000000864e-05 × 6371000     		dl = 469.287860000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69464272-0.69456906) × R
    7.36600000000864e-05 × 6371000     		dr = 469.287860000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33222604--2.33213017) × cos(0.69464272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768282449676394 × 6371000     		do = 469.257524167972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33222604--2.33213017) × cos(0.69456906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768329598167488 × 6371000     		du = 469.286321889706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69464272)-sin(0.69456906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768282449676394-0.768329598167488)×R²
    abs(-2.33213017--2.33222604)×4.71484910939957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71484910939957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71484910939957e-05×40589641000000     		ar = 220223.61661589m²