Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84415 / 20415
↖ ↑ ↗
← N 76.881398°
E 51.852722°		 ← 69.31 m → N 76.881398°
E 51.855468°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.880775°
E 51.852722°		 ← 69.31 m →
4 804 m²		 N 76.880775°
E 51.855468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644039154052734 y=0.155757904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644039154052734 × 217)
    floor (0.644039154052734 × 131072)
    floor (84415.5)     		tx = 84415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155757904052734 × 217)
    floor (0.155757904052734 × 131072)
    floor (20415.5)     		ty = 20415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84415 / 20415 ti = "17/84415/20415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84415/20415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84415 ÷ 217
    84415 ÷ 131072     		x = 0.644035339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20415 ÷ 217
    20415 ÷ 131072     		y = 0.155754089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644035339355469 × 2 - 1) × π
    0.288070678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.90500073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155754089355469 × 2 - 1) × π
    0.688491821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.16296084775655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90500073} λ = 0.90500073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16296084775655))-π/2
    2×atan(8.69684962276829)-π/2
    2×1.45631492746371-π/2
    2.91262985492742-1.57079632675     		φ = 1.34183353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90500073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.852722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34183353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.881398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84415 KachelY 20415 0.90500073 1.34183353 51.852722 76.881398
    Oben rechts KachelX + 1 84416 KachelY 20415 0.90504866 1.34183353 51.855468 76.881398
    Unten links KachelX 84415 KachelY + 1 20416 0.90500073 1.34182265 51.852722 76.880775
    Unten rechts KachelX + 1 84416 KachelY + 1 20416 0.90504866 1.34182265 51.855468 76.880775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34183353-1.34182265) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dl = 69.3164800002957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34183353-1.34182265) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dr = 69.3164800002957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90500073-0.90504866) × cos(1.34183353) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226967511182644 × 6371000     		do = 69.3072599586619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90500073-0.90504866) × cos(1.34182265) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226978107226564 × 6371000     		du = 69.310495588143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34183353)-sin(1.34182265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226967511182644-0.226978107226564)×R²
    abs(0.90504866-0.90500073)×1.05960439193697e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05960439193697e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05960439193697e-05×40589641000000     		ar = 4804.24744002274m²