Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84414 / 20417
↖ ↑ ↗
← N 76.880151°
E 51.849976°		 ← 69.33 m → N 76.880151°
E 51.852722°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.879528°
E 51.849976°		 ← 69.33 m →
4 806 m²		 N 76.879528°
E 51.852722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644031524658203 y=0.155773162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644031524658203 × 217)
    floor (0.644031524658203 × 131072)
    floor (84414.5)     		tx = 84414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155773162841797 × 217)
    floor (0.155773162841797 × 131072)
    floor (20417.5)     		ty = 20417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84414 / 20417 ti = "17/84414/20417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84414/20417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84414 ÷ 217
    84414 ÷ 131072     		x = 0.644027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20417 ÷ 217
    20417 ÷ 131072     		y = 0.155769348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644027709960938 × 2 - 1) × π
    0.288055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90495279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155769348144531 × 2 - 1) × π
    0.688461303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16286497395731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90495279} λ = 0.90495279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16286497395731))-π/2
    2×atan(8.69601586272204)-π/2
    2×1.45630404683686-π/2
    2.91260809367372-1.57079632675     		φ = 1.34181177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90495279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34181177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.880151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84414 KachelY 20417 0.90495279 1.34181177 51.849976 76.880151
    Oben rechts KachelX + 1 84415 KachelY 20417 0.90500073 1.34181177 51.852722 76.880151
    Unten links KachelX 84414 KachelY + 1 20418 0.90495279 1.34180089 51.849976 76.879528
    Unten rechts KachelX + 1 84415 KachelY + 1 20418 0.90500073 1.34180089 51.852722 76.879528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34181177-1.34180089) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dl = 69.3164800002957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34181177-1.34180089) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dr = 69.3164800002957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90495279-0.90500073) × cos(1.34181177) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226988703243615 × 6371000     		do = 69.3281926599364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90495279-0.90500073) × cos(1.34180089) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226999299233796 × 6371000     		du = 69.3314289480786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34181177)-sin(1.34180089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226988703243615-0.226999299233796)×R²
    abs(0.90500073-0.90495279)×1.05959901813557e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05959901813557e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05959901813557e-05×40589641000000     		ar = 4805.69844404021m²