Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84412 / 20444
↖ ↑ ↗
← N 76.863308°
E 51.844483°		 ← 69.40 m → N 76.863308°
E 51.847229°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.862684°
E 51.844483°		 ← 69.40 m →
4 815 m²		 N 76.862684°
E 51.847229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644016265869141 y=0.155979156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644016265869141 × 217)
    floor (0.644016265869141 × 131072)
    floor (84412.5)     		tx = 84412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155979156494141 × 217)
    floor (0.155979156494141 × 131072)
    floor (20444.5)     		ty = 20444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84412 / 20444 ti = "17/84412/20444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84412/20444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84412 ÷ 217
    84412 ÷ 131072     		x = 0.644012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20444 ÷ 217
    20444 ÷ 131072     		y = 0.155975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644012451171875 × 2 - 1) × π
    0.28802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90485692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155975341796875 × 2 - 1) × π
    0.68804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16157067766757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90485692} λ = 0.90485692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16157067766757))-π/2
    2×atan(8.68476792230937)-π/2
    2×1.45615705889824-π/2
    2.91231411779649-1.57079632675     		φ = 1.34151779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90485692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.844483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34151779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.863308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84412 KachelY 20444 0.90485692 1.34151779 51.844483 76.863308
    Oben rechts KachelX + 1 84413 KachelY 20444 0.90490485 1.34151779 51.847229 76.863308
    Unten links KachelX 84412 KachelY + 1 20445 0.90485692 1.34150690 51.844483 76.862684
    Unten rechts KachelX + 1 84413 KachelY + 1 20445 0.90490485 1.34150690 51.847229 76.862684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34151779-1.34150690) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34151779-1.34150690) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90485692-0.90490485) × cos(1.34151779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227274999785895 × 6371000     		do = 69.4011553029128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90485692-0.90490485) × cos(1.34150690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227285604787859 × 6371000     		du = 69.4043936678407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34151779)-sin(1.34150690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227274999785895-0.227285604787859)×R²
    abs(0.90490485-0.90485692)×1.06050019640092e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06050019640092e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06050019640092e-05×40589641000000     		ar = 4815.17768043038m²