Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8441 / 24841
↖ ↑ ↗
← N 39.871804°
W133.632202°		 ← 468.77 m → N 39.871804°
W133.626709°		 →
↑
468.78 m
↓
↑
468.78 m
↓
N 39.867588°
W133.632202°		 ← 468.80 m →
219 755 m²		 N 39.867588°
W133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128807067871094 y=0.379051208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128807067871094 × 216)
    floor (0.128807067871094 × 65536)
    floor (8441.5)     		tx = 8441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379051208496094 × 216)
    floor (0.379051208496094 × 65536)
    floor (24841.5)     		ty = 24841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8441 / 24841 ti = "16/8441/24841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8441/24841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8441 ÷ 216
    8441 ÷ 65536     		x = 0.128799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24841 ÷ 216
    24841 ÷ 65536     		y = 0.379043579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.742401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33232191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379043579101562 × 2 - 1) × π
    0.241912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.75999160657637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33232191} λ = -2.33232191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75999160657637))-π/2
    2×atan(2.13825827311398)-π/2
    2×1.13334528960388-π/2
    2.26669057920777-1.57079632675     		φ = 0.69589425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33232191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69589425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.871804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8441 KachelY 24841 -2.33232191 0.69589425 -133.632202 39.871804
    Oben rechts KachelX + 1 8442 KachelY 24841 -2.33222604 0.69589425 -133.626709 39.871804
    Unten links KachelX 8441 KachelY + 1 24842 -2.33232191 0.69582067 -133.632202 39.867588
    Unten rechts KachelX + 1 8442 KachelY + 1 24842 -2.33222604 0.69582067 -133.626709 39.867588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69589425-0.69582067) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dl = 468.778180000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69589425-0.69582067) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dr = 468.778180000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33232191--2.33222604) × cos(0.69589425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767480730089345 × 6371000     		do = 468.767843649233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33232191--2.33222604) × cos(0.69582067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76752789809062 × 6371000     		du = 468.796653287547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69589425)-sin(0.69582067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767480730089345-0.76752789809062)×R²
    abs(-2.33222604--2.33232191)×4.71680012746889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71680012746889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71680012746889e-05×40589641000000     		ar = 219754.889352607m²