Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8441 / 24827
↖ ↑ ↗
← N 39.930801°
W133.632202°		 ← 468.36 m → N 39.930801°
W133.626709°		 →
↑
468.40 m
↓
↑
468.40 m
↓
N 39.926589°
W133.632202°		 ← 468.39 m →
219 387 m²		 N 39.926589°
W133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128807067871094 y=0.378837585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128807067871094 × 216)
    floor (0.128807067871094 × 65536)
    floor (8441.5)     		tx = 8441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378837585449219 × 216)
    floor (0.378837585449219 × 65536)
    floor (24827.5)     		ty = 24827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8441 / 24827 ti = "16/8441/24827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8441/24827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8441 ÷ 216
    8441 ÷ 65536     		x = 0.128799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24827 ÷ 216
    24827 ÷ 65536     		y = 0.378829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.742401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33232191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378829956054688 × 2 - 1) × π
    0.242340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761333839765732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33232191} λ = -2.33232191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761333839765732))-π/2
    2×atan(2.14113024132994)-π/2
    2×1.1338601370292-π/2
    2.2677202740584-1.57079632675     		φ = 0.69692395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33232191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69692395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.930801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8441 KachelY 24827 -2.33232191 0.69692395 -133.632202 39.930801
    Oben rechts KachelX + 1 8442 KachelY 24827 -2.33222604 0.69692395 -133.626709 39.930801
    Unten links KachelX 8441 KachelY + 1 24828 -2.33232191 0.69685043 -133.632202 39.926589
    Unten rechts KachelX + 1 8442 KachelY + 1 24828 -2.33222604 0.69685043 -133.626709 39.926589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69692395-0.69685043) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dl = 468.395919999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69692395-0.69685043) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dr = 468.395919999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33232191--2.33222604) × cos(0.69692395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766820211478728 × 6371000     		do = 468.364406960011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33232191--2.33222604) × cos(0.69685043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766867399096869 × 6371000     		du = 468.393228580066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69692395)-sin(0.69685043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766820211478728-0.766867399096869)×R²
    abs(-2.33222604--2.33232191)×4.71876181403763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71876181403763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71876181403763e-05×40589641000000     		ar = 219386.727356576m²