Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84408 / 20456
↖ ↑ ↗
← N 76.855815°
E 51.833496°		 ← 69.45 m → N 76.855815°
E 51.836243°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.855190°
E 51.833496°		 ← 69.46 m →
4 828 m²		 N 76.855190°
E 51.836243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643985748291016 y=0.156070709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643985748291016 × 217)
    floor (0.643985748291016 × 131072)
    floor (84408.5)     		tx = 84408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156070709228516 × 217)
    floor (0.156070709228516 × 131072)
    floor (20456.5)     		ty = 20456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84408 / 20456 ti = "17/84408/20456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84408/20456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84408 ÷ 217
    84408 ÷ 131072     		x = 0.64398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20456 ÷ 217
    20456 ÷ 131072     		y = 0.15606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64398193359375 × 2 - 1) × π
    0.2879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90466517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15606689453125 × 2 - 1) × π
    0.6878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16099543487213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90466517} λ = 0.90466517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16099543487213))-π/2
    2×atan(8.67977350876992)-π/2
    2×1.45609167143265-π/2
    2.91218334286529-1.57079632675     		φ = 1.34138702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90466517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34138702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.855815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84408 KachelY 20456 0.90466517 1.34138702 51.833496 76.855815
    Oben rechts KachelX + 1 84409 KachelY 20456 0.90471311 1.34138702 51.836243 76.855815
    Unten links KachelX 84408 KachelY + 1 20457 0.90466517 1.34137611 51.833496 76.855190
    Unten rechts KachelX + 1 84409 KachelY + 1 20457 0.90471311 1.34137611 51.836243 76.855190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34138702-1.34137611) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34138702-1.34137611) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90466517-0.90471311) × cos(1.34138702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227402345672285 × 6371000     		do = 69.4545297046479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90466517-0.90471311) × cos(1.34137611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22741296982646 × 6371000     		du = 69.4577745947987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34138702)-sin(1.34137611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227402345672285-0.22741296982646)×R²
    abs(0.90471311-0.90466517)×1.06241541751317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06241541751317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06241541751317e-05×40589641000000     		ar = 4827.73113577942m²