Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8440 / 5905
↖ ↑ ↗
← N 44.824709°
E  5.449219°		 ← 1 732.89 m → N 44.824709°
E  5.471191°		 →
↑
1 733.17 m
↓
↑
1 733.17 m
↓
N 44.809122°
E  5.449219°		 ← 1 733.36 m →
3 003 795 m²		 N 44.809122°
E  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515167236328125 y=0.360443115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515167236328125 × 214)
    floor (0.515167236328125 × 16384)
    floor (8440.5)     		tx = 8440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360443115234375 × 214)
    floor (0.360443115234375 × 16384)
    floor (5905.5)     		ty = 5905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8440 / 5905 ti = "14/8440/5905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8440/5905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8440 ÷ 214
    8440 ÷ 16384     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5905 ÷ 214
    5905 ÷ 16384     		y = 0.36041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877053515448547))-π/2
    2×atan(2.4038064828458)-π/2
    2×1.17656753627461-π/2
    2.35313507254923-1.57079632675     		φ = 0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8440 KachelY 5905 0.09510681 0.78233875 5.449219 44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 8441 KachelY 5905 0.09549030 0.78233875 5.471191 44.824709
    Unten links KachelX 8440 KachelY + 1 5906 0.09510681 0.78206671 5.449219 44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 8441 KachelY + 1 5906 0.09549030 0.78206671 5.471191 44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78233875-0.78206671) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dl = 1733.16683999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78233875-0.78206671) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dr = 1733.16683999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09549030) × cos(0.78233875) × R
    0.00038349 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 1732.89113706379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09549030) × cos(0.78206671) × R
    0.00038349 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 1733.35961291898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78233875)-sin(0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709458546180041)×R²
    abs(0.09549030-0.09510681)×0.000191745669314236×R²
    0.00038349×0.000191745669314236×6371000²
    0.00038349×0.000191745669314236×40589641000000     		ar = 3003795.44802079m²