Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8440 / 24854
↖ ↑ ↗
← N 39.816975°
W133.637695°		 ← 469.19 m → N 39.816975°
W133.632202°		 →
↑
469.16 m
↓
↑
469.16 m
↓
N 39.812756°
W133.637695°		 ← 469.22 m →
220 133 m²		 N 39.812756°
W133.632202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128791809082031 y=0.379249572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128791809082031 × 216)
    floor (0.128791809082031 × 65536)
    floor (8440.5)     		tx = 8440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379249572753906 × 216)
    floor (0.379249572753906 × 65536)
    floor (24854.5)     		ty = 24854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8440 / 24854 ti = "16/8440/24854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8440/24854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8440 ÷ 216
    8440 ÷ 65536     		x = 0.1287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24854 ÷ 216
    24854 ÷ 65536     		y = 0.379241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379241943359375 × 2 - 1) × π
    0.24151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.758745247186249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33241779} λ = -2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758745247186249))-π/2
    2×atan(2.13559489494475)-π/2
    2×1.13286682014593-π/2
    2.26573364029186-1.57079632675     		φ = 0.69493731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69493731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.816975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8440 KachelY 24854 -2.33241779 0.69493731 -133.637695 39.816975
    Oben rechts KachelX + 1 8441 KachelY 24854 -2.33232191 0.69493731 -133.632202 39.816975
    Unten links KachelX 8440 KachelY + 1 24855 -2.33241779 0.69486367 -133.637695 39.812756
    Unten rechts KachelX + 1 8441 KachelY + 1 24855 -2.33232191 0.69486367 -133.632202 39.812756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69493731-0.69486367) × R
    7.36399999999859e-05 × 6371000     		dl = 469.16043999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69493731-0.69486367) × R
    7.36399999999859e-05 × 6371000     		dr = 469.16043999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33241779--2.33232191) × cos(0.69493731) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768093846046007 × 6371000     		do = 469.191262635788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33241779--2.33232191) × cos(0.69486367) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768140998401297 × 6371000     		du = 469.220065721802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69493731)-sin(0.69486367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768093846046007-0.768140998401297)×R²
    abs(-2.33232191--2.33241779)×4.71523552896258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71523552896258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71523552896258e-05×40589641000000     		ar = 220132.735955907m²