Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 844 / 229
↖ ↑ ↗
← N 80.027655°
W 31.640625°		 ← 3 384.83 m → N 80.027655°
W 31.464844°		 →
↑
3 389.95 m
↓
↑
3 389.95 m
↓
N 79.997168°
W 31.640625°		 ← 3 395.07 m →
11 491 755 m²		 N 79.997168°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412353515625 y=0.112060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412353515625 × 211)
    floor (0.412353515625 × 2048)
    floor (844.5)     		tx = 844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112060546875 × 211)
    floor (0.112060546875 × 2048)
    floor (229.5)     		ty = 229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 844 / 229 ti = "11/844/229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/844/229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 844 ÷ 211
    844 ÷ 2048     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 229 ÷ 211
    229 ÷ 2048     		y = 0.11181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11181640625 × 2 - 1) × π
    0.7763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43902945266846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43902945266846))-π/2
    2×atan(11.4619110155544)-π/2
    2×1.48377119934915-π/2
    2.9675423986983-1.57079632675     		φ = 1.39674607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39674607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.027655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 844 KachelY 229 -0.55223308 1.39674607 -31.640625 80.027655
    Oben rechts KachelX + 1 845 KachelY 229 -0.54916512 1.39674607 -31.464844 80.027655
    Unten links KachelX 844 KachelY + 1 230 -0.55223308 1.39621398 -31.640625 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 845 KachelY + 1 230 -0.54916512 1.39621398 -31.464844 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39674607-1.39621398) × R
    0.000532090000000096 × 6371000     		dl = 3389.94539000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39674607-1.39621398) × R
    0.000532090000000096 × 6371000     		dr = 3389.94539000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(1.39674607) × R
    0.00306796000000009 × 0.173172821871163 × 6371000     		do = 3384.83132833531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(1.39621398) × R
    0.00306796000000009 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 3395.07393338689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39674607)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173172821871163-0.173696848225222)×R²
    abs(-0.54916512--0.55223308)×0.000524026354059237×R²
    0.00306796000000009×0.000524026354059237×6371000²
    0.00306796000000009×0.000524026354059237×40589641000000     		ar = 11491754.5644428m²