Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 844 / 211
↖ ↑ ↗
← N 80.560943°
W 31.640625°		 ← 3 205.51 m → N 80.560943°
W 31.464844°		 →
↑
3 210.41 m
↓
↑
3 210.41 m
↓
N 80.532071°
W 31.640625°		 ← 3 215.22 m →
10 306 597 m²		 N 80.532071°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412353515625 y=0.103271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412353515625 × 211)
    floor (0.412353515625 × 2048)
    floor (844.5)     		tx = 844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103271484375 × 211)
    floor (0.103271484375 × 2048)
    floor (211.5)     		ty = 211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 844 / 211 ti = "11/844/211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/844/211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 844 ÷ 211
    844 ÷ 2048     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 211 ÷ 211
    211 ÷ 2048     		y = 0.10302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10302734375 × 2 - 1) × π
    0.7939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49425276103076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49425276103076))-π/2
    2×atan(12.1126790702693)-π/2
    2×1.48842501218403-π/2
    2.97685002436806-1.57079632675     		φ = 1.40605370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40605370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.560943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 844 KachelY 211 -0.55223308 1.40605370 -31.640625 80.560943
    Oben rechts KachelX + 1 845 KachelY 211 -0.54916512 1.40605370 -31.464844 80.560943
    Unten links KachelX 844 KachelY + 1 212 -0.55223308 1.40554979 -31.640625 80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 845 KachelY + 1 212 -0.54916512 1.40554979 -31.464844 80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40605370-1.40554979) × R
    0.000503909999999941 × 6371000     		dl = 3210.41060999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40605370-1.40554979) × R
    0.000503909999999941 × 6371000     		dr = 3210.41060999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(1.40605370) × R
    0.00306796000000009 × 0.163998447899479 × 6371000     		do = 3205.50926092497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(1.40554979) × R
    0.00306796000000009 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 3215.2249097178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40605370)-sin(1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163998447899479-0.164495514416111)×R²
    abs(-0.54916512--0.55223308)×0.000497066516632283×R²
    0.00306796000000009×0.000497066516632283×6371000²
    0.00306796000000009×0.000497066516632283×40589641000000     		ar = 10306596.7708005m²