Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84390 / 20437
↖ ↑ ↗
← N 76.867676°
E 51.784058°		 ← 69.38 m → N 76.867676°
E 51.786804°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.867052°
E 51.784058°		 ← 69.38 m →
4 814 m²		 N 76.867052°
E 51.786804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643848419189453 y=0.155925750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643848419189453 × 217)
    floor (0.643848419189453 × 131072)
    floor (84390.5)     		tx = 84390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155925750732422 × 217)
    floor (0.155925750732422 × 131072)
    floor (20437.5)     		ty = 20437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84390 / 20437 ti = "17/84390/20437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84390/20437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84390 ÷ 217
    84390 ÷ 131072     		x = 0.643844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20437 ÷ 217
    20437 ÷ 131072     		y = 0.155921936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643844604492188 × 2 - 1) × π
    0.287689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90380231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155921936035156 × 2 - 1) × π
    0.688156127929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.16190623596491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90380231} λ = 0.90380231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16190623596491))-π/2
    2×atan(8.68768265725058)-π/2
    2×1.45619518467437-π/2
    2.91239036934874-1.57079632675     		φ = 1.34159404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90380231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.784058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34159404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.867676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84390 KachelY 20437 0.90380231 1.34159404 51.784058 76.867676
    Oben rechts KachelX + 1 84391 KachelY 20437 0.90385024 1.34159404 51.786804 76.867676
    Unten links KachelX 84390 KachelY + 1 20438 0.90380231 1.34158315 51.784058 76.867052
    Unten rechts KachelX + 1 84391 KachelY + 1 20438 0.90385024 1.34158315 51.786804 76.867052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34159404-1.34158315) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34159404-1.34158315) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90380231-0.90385024) × cos(1.34159404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227200744540573 × 6371000     		do = 69.3784805704634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90380231-0.90385024) × cos(1.34158315) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227211349731232 × 6371000     		du = 69.3817189930113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34159404)-sin(1.34158315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227200744540573-0.227211349731232)×R²
    abs(0.90385024-0.90380231)×1.06051906582361e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06051906582361e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06051906582361e-05×40589641000000     		ar = 4813.6045051712m²