Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8439 / 5906
↖ ↑ ↗
← N 44.809122°
E  5.427246°		 ← 1 733.40 m → N 44.809122°
E  5.449219°		 →
↑
1 733.61 m
↓
↑
1 733.61 m
↓
N 44.793531°
E  5.427246°		 ← 1 733.87 m →
3 005 459 m²		 N 44.793531°
E  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515106201171875 y=0.360504150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515106201171875 × 214)
    floor (0.515106201171875 × 16384)
    floor (8439.5)     		tx = 8439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360504150390625 × 214)
    floor (0.360504150390625 × 16384)
    floor (5906.5)     		ty = 5906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8439 / 5906 ti = "14/8439/5906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8439/5906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8439 ÷ 214
    8439 ÷ 16384     		x = 0.51507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5906 ÷ 214
    5906 ÷ 16384     		y = 0.3604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51507568359375 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3604736328125 × 2 - 1) × π
    0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09472331} λ = 0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876670020251587))-π/2
    2×atan(2.4028848113448)-π/2
    2×1.17643151768515-π/2
    2.35286303537031-1.57079632675     		φ = 0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8439 KachelY 5906 0.09472331 0.78206671 5.427246 44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 8440 KachelY 5906 0.09510681 0.78206671 5.449219 44.809122
    Unten links KachelX 8439 KachelY + 1 5907 0.09472331 0.78179460 5.427246 44.793531
    Unten rechts KachelX + 1 8440 KachelY + 1 5907 0.09510681 0.78179460 5.449219 44.793531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78206671-0.78179460) × R
    0.000272110000000048 × 6371000     		dl = 1733.6128100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78206671-0.78179460) × R
    0.000272110000000048 × 6371000     		dr = 1733.6128100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09472331-0.09510681) × cos(0.78206671) × R
    0.000383499999999995 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 1733.40481252293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09472331-0.09510681) × cos(0.78179460) × R
    0.000383499999999995 × 0.709650288664124 × 6371000     		du = 1733.87329281183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78206671)-sin(0.78179460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709650288664124)×R²
    abs(0.09510681-0.09472331)×0.000191742484082824×R²
    0.000383499999999995×0.000191742484082824×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191742484082824×40589641000000     		ar = 3005458.88816661m²