Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8439 / 5900
↖ ↑ ↗
← N 44.902578°
E  5.427246°		 ← 1 730.59 m → N 44.902578°
E  5.449219°		 →
↑
1 730.81 m
↓
↑
1 730.81 m
↓
N 44.887013°
E  5.427246°		 ← 1 731.06 m →
2 995 734 m²		 N 44.887013°
E  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515106201171875 y=0.360137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515106201171875 × 214)
    floor (0.515106201171875 × 16384)
    floor (8439.5)     		tx = 8439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360137939453125 × 214)
    floor (0.360137939453125 × 16384)
    floor (5900.5)     		ty = 5900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8439 / 5900 ti = "14/8439/5900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8439/5900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8439 ÷ 214
    8439 ÷ 16384     		x = 0.51507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5900 ÷ 214
    5900 ÷ 16384     		y = 0.360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51507568359375 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    0.27978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87897099143335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09472331} λ = 0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87897099143335))-π/2
    2×atan(2.40842014592926)-π/2
    2×1.17724707772295-π/2
    2.3544941554459-1.57079632675     		φ = 0.78369783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78369783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.902578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8439 KachelY 5900 0.09472331 0.78369783 5.427246 44.902578
    Oben rechts KachelX + 1 8440 KachelY 5900 0.09510681 0.78369783 5.449219 44.902578
    Unten links KachelX 8439 KachelY + 1 5901 0.09472331 0.78342616 5.427246 44.887013
    Unten rechts KachelX + 1 8440 KachelY + 1 5901 0.09510681 0.78342616 5.449219 44.887013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78369783-0.78342616) × R
    0.000271670000000057 × 6371000     		dl = 1730.80957000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78369783-0.78342616) × R
    0.000271670000000057 × 6371000     		dr = 1730.80957000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09472331-0.09510681) × cos(0.78369783) × R
    0.000383499999999995 × 0.708308075712955 × 6371000     		do = 1730.59389276581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09472331-0.09510681) × cos(0.78342616) × R
    0.000383499999999995 × 0.708499822360578 × 6371000     		du = 1731.0623832274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78369783)-sin(0.78342616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708308075712955-0.708499822360578)×R²
    abs(0.09510681-0.09472331)×0.000191746647623225×R²
    0.000383499999999995×0.000191746647623225×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191746647623225×40589641000000     		ar = 2995733.9236945m²