Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8439 / 24857
↖ ↑ ↗
← N 39.804316°
W133.643188°		 ← 469.23 m → N 39.804316°
W133.637695°		 →
↑
469.22 m
↓
↑
469.22 m
↓
N 39.800096°
W133.643188°		 ← 469.26 m →
220 180 m²		 N 39.800096°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128776550292969 y=0.379295349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128776550292969 × 216)
    floor (0.128776550292969 × 65536)
    floor (8439.5)     		tx = 8439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379295349121094 × 216)
    floor (0.379295349121094 × 65536)
    floor (24857.5)     		ty = 24857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8439 / 24857 ti = "16/8439/24857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8439/24857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8439 ÷ 216
    8439 ÷ 65536     		x = 0.128768920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24857 ÷ 216
    24857 ÷ 65536     		y = 0.379287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128768920898438 × 2 - 1) × π
    -0.742462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33251366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379287719726562 × 2 - 1) × π
    0.241424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.758457625788528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33251366} λ = -2.33251366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758457625788528))-π/2
    2×atan(2.13498074048232)-π/2
    2×1.13275634986176-π/2
    2.26551269972351-1.57079632675     		φ = 0.69471637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33251366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.643188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69471637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.804316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8439 KachelY 24857 -2.33251366 0.69471637 -133.643188 39.804316
    Oben rechts KachelX + 1 8440 KachelY 24857 -2.33241779 0.69471637 -133.637695 39.804316
    Unten links KachelX 8439 KachelY + 1 24858 -2.33251366 0.69464272 -133.643188 39.800096
    Unten rechts KachelX + 1 8440 KachelY + 1 24858 -2.33241779 0.69464272 -133.637695 39.800096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69471637-0.69464272) × R
    7.36499999999252e-05 × 6371000     		dl = 469.224149999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69471637-0.69464272) × R
    7.36499999999252e-05 × 6371000     		dr = 469.224149999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33251366--2.33241779) × cos(0.69471637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768235303418432 × 6371000     		do = 469.228727810208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33251366--2.33241779) × cos(0.69464272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768282449676394 × 6371000     		du = 469.257524167972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69471637)-sin(0.69464272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768235303418432-0.768282449676394)×R²
    abs(-2.33241779--2.33251366)×4.7146257961761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7146257961761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7146257961761e-05×40589641000000     		ar = 220180.207034911m²