Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84374 / 20425
↖ ↑ ↗
← N 76.875163°
E 51.740113°		 ← 69.34 m → N 76.875163°
E 51.742859°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.874539°
E 51.740113°		 ← 69.34 m →
4 806 m²		 N 76.874539°
E 51.742859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643726348876953 y=0.155834197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643726348876953 × 217)
    floor (0.643726348876953 × 131072)
    floor (84374.5)     		tx = 84374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155834197998047 × 217)
    floor (0.155834197998047 × 131072)
    floor (20425.5)     		ty = 20425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84374 / 20425 ti = "17/84374/20425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84374/20425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84374 ÷ 217
    84374 ÷ 131072     		x = 0.643722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20425 ÷ 217
    20425 ÷ 131072     		y = 0.155830383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643722534179688 × 2 - 1) × π
    0.287445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90303532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155830383300781 × 2 - 1) × π
    0.688339233398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.16248147876035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90303532} λ = 0.90303532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16248147876035))-π/2
    2×atan(8.69268162177955)-π/2
    2×1.45626051416871-π/2
    2.91252102833742-1.57079632675     		φ = 1.34172470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90303532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.740113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34172470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.875163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84374 KachelY 20425 0.90303532 1.34172470 51.740113 76.875163
    Oben rechts KachelX + 1 84375 KachelY 20425 0.90308325 1.34172470 51.742859 76.875163
    Unten links KachelX 84374 KachelY + 1 20426 0.90303532 1.34171382 51.740113 76.874539
    Unten rechts KachelX + 1 84375 KachelY + 1 20426 0.90308325 1.34171382 51.742859 76.874539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34172470-1.34171382) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dl = 69.3164800002957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34172470-1.34171382) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dr = 69.3164800002957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90303532-0.90308325) × cos(1.34172470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227073499628938 × 6371000     		do = 69.3396248059392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90303532-0.90308325) × cos(1.34171382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227084095404043 × 6371000     		du = 69.3428603533347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34172470)-sin(1.34171382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227073499628938-0.227084095404043)×R²
    abs(0.90308325-0.90303532)×1.05957751048713e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05957751048713e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05957751048713e-05×40589641000000     		ar = 4806.49085460915m²