Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8437 / 5891
↖ ↑ ↗
← N 45.042478°
E  5.383301°		 ← 1 726.38 m → N 45.042478°
E  5.405274°		 →
↑
1 726.60 m
↓
↑
1 726.60 m
↓
N 45.026951°
E  5.383301°		 ← 1 726.85 m →
2 981 176 m²		 N 45.026951°
E  5.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514984130859375 y=0.359588623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514984130859375 × 214)
    floor (0.514984130859375 × 16384)
    floor (8437.5)     		tx = 8437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359588623046875 × 214)
    floor (0.359588623046875 × 16384)
    floor (5891.5)     		ty = 5891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8437 / 5891 ti = "14/8437/5891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8437/5891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8437 ÷ 214
    8437 ÷ 16384     		x = 0.51495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5891 ÷ 214
    5891 ÷ 16384     		y = 0.35955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51495361328125 × 2 - 1) × π
    0.0299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09395632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35955810546875 × 2 - 1) × π
    0.2808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.882422448205994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09395632} λ = 0.09395632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882422448205994))-π/2
    2×atan(2.41674706568886)-π/2
    2×1.17846793601121-π/2
    2.35693587202241-1.57079632675     		φ = 0.78613955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09395632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78613955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.042478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8437 KachelY 5891 0.09395632 0.78613955 5.383301 45.042478
    Oben rechts KachelX + 1 8438 KachelY 5891 0.09433982 0.78613955 5.405274 45.042478
    Unten links KachelX 8437 KachelY + 1 5892 0.09395632 0.78586854 5.383301 45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 8438 KachelY + 1 5892 0.09433982 0.78586854 5.405274 45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78613955-0.78586854) × R
    0.000271010000000071 × 6371000     		dl = 1726.60471000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78613955-0.78586854) × R
    0.000271010000000071 × 6371000     		dr = 1726.60471000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09395632-0.09433982) × cos(0.78613955) × R
    0.000383500000000009 × 0.706582347408368 × 6371000     		do = 1726.37745790243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09395632-0.09433982) × cos(0.78586854) × R
    0.000383500000000009 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 1726.84595430679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78613955)-sin(0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706582347408368-0.706774096488284)×R²
    abs(0.09433982-0.09395632)×0.000191749079916481×R²
    0.000383500000000009×0.000191749079916481×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191749079916481×40589641000000     		ar = 2981175.92234796m²