Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8437 / 5401
↖ ↑ ↗
← N 76.119258°
W 87.308350°		 ← 293.07 m → N 76.119258°
W 87.297363°		 →
↑
293.13 m
↓
↑
293.13 m
↓
N 76.116621°
W 87.308350°		 ← 293.13 m →
85 917 m²		 N 76.116621°
W 87.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257492065429688 y=0.164840698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257492065429688 × 215)
    floor (0.257492065429688 × 32768)
    floor (8437.5)     		tx = 8437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164840698242188 × 215)
    floor (0.164840698242188 × 32768)
    floor (5401.5)     		ty = 5401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8437 / 5401 ti = "15/8437/5401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8437/5401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8437 ÷ 215
    8437 ÷ 32768     		x = 0.257476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5401 ÷ 215
    5401 ÷ 32768     		y = 0.164825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.48504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.52381817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164825439453125 × 2 - 1) × π
    0.67034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10596387410831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52381817} λ = -1.52381817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10596387410831))-π/2
    2×atan(8.21501743733421)-π/2
    2×1.44966399776697-π/2
    2.89932799553393-1.57079632675     		φ = 1.32853167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52381817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.308350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32853167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.119258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8437 KachelY 5401 -1.52381817 1.32853167 -87.308350 76.119258
    Oben rechts KachelX + 1 8438 KachelY 5401 -1.52362642 1.32853167 -87.297363 76.119258
    Unten links KachelX 8437 KachelY + 1 5402 -1.52381817 1.32848566 -87.308350 76.116621
    Unten rechts KachelX + 1 8438 KachelY + 1 5402 -1.52362642 1.32848566 -87.297363 76.116621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32853167-1.32848566) × R
    4.60100000001518e-05 × 6371000     		dl = 293.129710000967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32853167-1.32848566) × R
    4.60100000001518e-05 × 6371000     		dr = 293.129710000967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52381817--1.52362642) × cos(1.32853167) × R
    0.000191749999999935 × 0.239901762142777 × 6371000     		do = 293.073408777681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52381817--1.52362642) × cos(1.32848566) × R
    0.000191749999999935 × 0.239946428266609 × 6371000     		du = 293.127974667699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32853167)-sin(1.32848566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239901762142777-0.239946428266609)×R²
    abs(-1.52362642--1.52381817)×4.46661238316659e-05×R²
    0.000191749999999935×4.46661238316659e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.46661238316659e-05×40589641000000     		ar = 85916.520781602m²