Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8437 / 24971
↖ ↑ ↗
← N 39.321550°
W133.654175°		 ← 472.51 m → N 39.321550°
W133.648682°		 →
↑
472.54 m
↓
↑
472.54 m
↓
N 39.317300°
W133.654175°		 ← 472.54 m →
223 284 m²		 N 39.317300°
W133.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128746032714844 y=0.381034851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128746032714844 × 216)
    floor (0.128746032714844 × 65536)
    floor (8437.5)     		tx = 8437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381034851074219 × 216)
    floor (0.381034851074219 × 65536)
    floor (24971.5)     		ty = 24971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8437 / 24971 ti = "16/8437/24971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8437/24971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8437 ÷ 216
    8437 ÷ 65536     		x = 0.128738403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24971 ÷ 216
    24971 ÷ 65536     		y = 0.381027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.742523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33270541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381027221679688 × 2 - 1) × π
    0.237945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.747528012675156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33270541} λ = -2.33270541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747528012675156))-π/2
    2×atan(2.11177328227702)-π/2
    2×1.12854342084823-π/2
    2.25708684169646-1.57079632675     		φ = 0.68629051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33270541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.654175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68629051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.321550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8437 KachelY 24971 -2.33270541 0.68629051 -133.654175 39.321550
    Oben rechts KachelX + 1 8438 KachelY 24971 -2.33260954 0.68629051 -133.648682 39.321550
    Unten links KachelX 8437 KachelY + 1 24972 -2.33270541 0.68621634 -133.654175 39.317300
    Unten rechts KachelX + 1 8438 KachelY + 1 24972 -2.33260954 0.68621634 -133.648682 39.317300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68629051-0.68621634) × R
    7.41699999999845e-05 × 6371000     		dl = 472.537069999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68629051-0.68621634) × R
    7.41699999999845e-05 × 6371000     		dr = 472.537069999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33270541--2.33260954) × cos(0.68629051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773601931605604 × 6371000     		do = 472.506598673069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33270541--2.33260954) × cos(0.68621634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773648928921031 × 6371000     		du = 472.535304058555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68629051)-sin(0.68621634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773601931605604-0.773648928921031)×R²
    abs(-2.33260954--2.33270541)×4.69973154262338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69973154262338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69973154262338e-05×40589641000000     		ar = 223283.665974562m²