Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84361 / 20363
↖ ↑ ↗
← N 76.913775°
E 51.704407°		 ← 69.14 m → N 76.913775°
E 51.707153°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.913153°
E 51.704407°		 ← 69.14 m →
4 784 m²		 N 76.913153°
E 51.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643627166748047 y=0.155361175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643627166748047 × 217)
    floor (0.643627166748047 × 131072)
    floor (84361.5)     		tx = 84361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155361175537109 × 217)
    floor (0.155361175537109 × 131072)
    floor (20363.5)     		ty = 20363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84361 / 20363 ti = "17/84361/20363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84361/20363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84361 ÷ 217
    84361 ÷ 131072     		x = 0.643623352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20363 ÷ 217
    20363 ÷ 131072     		y = 0.155357360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643623352050781 × 2 - 1) × π
    0.287246704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.90241214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155357360839844 × 2 - 1) × π
    0.689285278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1654535665368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90241214} λ = 0.90241214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1654535665368))-π/2
    2×atan(8.71855546519306)-π/2
    2×1.4565974674448-π/2
    2.91319493488961-1.57079632675     		φ = 1.34239861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90241214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.704407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34239861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.913775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84361 KachelY 20363 0.90241214 1.34239861 51.704407 76.913775
    Oben rechts KachelX + 1 84362 KachelY 20363 0.90246007 1.34239861 51.707153 76.913775
    Unten links KachelX 84361 KachelY + 1 20364 0.90241214 1.34238775 51.704407 76.913153
    Unten rechts KachelX + 1 84362 KachelY + 1 20364 0.90246007 1.34238775 51.707153 76.913153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34239861-1.34238775) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34239861-1.34238775) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90241214-0.90246007) × cos(1.34239861) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226417142246044 × 6371000     		do = 69.1391981829329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90241214-0.90246007) × cos(1.34238775) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226427720203157 × 6371000     		du = 69.1424282893902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34239861)-sin(1.34238775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226417142246044-0.226427720203157)×R²
    abs(0.90246007-0.90241214)×1.05779571129005e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05779571129005e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05779571129005e-05×40589641000000     		ar = 4783.78787564387m²