Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84357 / 20159
↖ ↑ ↗
← N 77.040035°
E 51.693421°		 ← 68.48 m → N 77.040035°
E 51.696167°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.039419°
E 51.693421°		 ← 68.49 m →
4 690 m²		 N 77.039419°
E 51.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643596649169922 y=0.153804779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643596649169922 × 217)
    floor (0.643596649169922 × 131072)
    floor (84357.5)     		tx = 84357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153804779052734 × 217)
    floor (0.153804779052734 × 131072)
    floor (20159.5)     		ty = 20159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84357 / 20159 ti = "17/84357/20159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84357/20159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84357 ÷ 217
    84357 ÷ 131072     		x = 0.643592834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20159 ÷ 217
    20159 ÷ 131072     		y = 0.153800964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643592834472656 × 2 - 1) × π
    0.287185668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.90222039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153800964355469 × 2 - 1) × π
    0.692398071289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17523269405929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90222039} λ = 0.90222039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17523269405929))-π/2
    2×atan(8.80423357669665)-π/2
    2×1.45769929174812-π/2
    2.91539858349624-1.57079632675     		φ = 1.34460226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90222039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.693421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34460226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.040035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84357 KachelY 20159 0.90222039 1.34460226 51.693421 77.040035
    Oben rechts KachelX + 1 84358 KachelY 20159 0.90226832 1.34460226 51.696167 77.040035
    Unten links KachelX 84357 KachelY + 1 20160 0.90222039 1.34459151 51.693421 77.039419
    Unten rechts KachelX + 1 84358 KachelY + 1 20160 0.90226832 1.34459151 51.696167 77.039419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34460226-1.34459151) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34460226-1.34459151) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90222039-0.90226832) × cos(1.34460226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224270172078254 × 6371000     		do = 68.483595014307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90222039-0.90226832) × cos(1.34459151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224280648230635 × 6371000     		du = 68.4867940334645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34460226)-sin(1.34459151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224270172078254-0.224280648230635)×R²
    abs(0.90226832-0.90222039)×1.04761523804231e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04761523804231e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04761523804231e-05×40589641000000     		ar = 4690.43112398047m²