Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84349 / 20141
↖ ↑ ↗
← N 77.051117°
E 51.671448°		 ← 68.44 m → N 77.051117°
E 51.674194°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.050502°
E 51.671448°		 ← 68.44 m →
4 683 m²		 N 77.050502°
E 51.674194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643535614013672 y=0.153667449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643535614013672 × 217)
    floor (0.643535614013672 × 131072)
    floor (84349.5)     		tx = 84349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153667449951172 × 217)
    floor (0.153667449951172 × 131072)
    floor (20141.5)     		ty = 20141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84349 / 20141 ti = "17/84349/20141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84349/20141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84349 ÷ 217
    84349 ÷ 131072     		x = 0.643531799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20141 ÷ 217
    20141 ÷ 131072     		y = 0.153663635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643531799316406 × 2 - 1) × π
    0.287063598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.90183689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153663635253906 × 2 - 1) × π
    0.692672729492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.17609555825245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90183689} λ = 0.90183689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17609555825245))-π/2
    2×atan(8.81183371306943)-π/2
    2×1.45779600842997-π/2
    2.91559201685993-1.57079632675     		φ = 1.34479569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90183689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.671448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34479569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.051117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84349 KachelY 20141 0.90183689 1.34479569 51.671448 77.051117
    Oben rechts KachelX + 1 84350 KachelY 20141 0.90188483 1.34479569 51.674194 77.051117
    Unten links KachelX 84349 KachelY + 1 20142 0.90183689 1.34478495 51.671448 77.050502
    Unten rechts KachelX + 1 84350 KachelY + 1 20142 0.90188483 1.34478495 51.674194 77.050502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34479569-1.34478495) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34479569-1.34478495) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90183689-0.90188483) × cos(1.34479569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224081665124661 × 6371000     		do = 68.4403083910868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90183689-0.90188483) × cos(1.34478495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224092131997518 × 6371000     		du = 68.4435052434747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34479569)-sin(1.34478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224081665124661-0.224092131997518)×R²
    abs(0.90188483-0.90183689)×1.04668728569679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04668728569679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04668728569679e-05×40589641000000     		ar = 4683.10599069595m²