Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84348 / 20163
↖ ↑ ↗
← N 77.037570°
E 51.668701°		 ← 68.50 m → N 77.037570°
E 51.671448°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.036954°
E 51.668701°		 ← 68.50 m →
4 691 m²		 N 77.036954°
E 51.671448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643527984619141 y=0.153835296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643527984619141 × 217)
    floor (0.643527984619141 × 131072)
    floor (84348.5)     		tx = 84348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153835296630859 × 217)
    floor (0.153835296630859 × 131072)
    floor (20163.5)     		ty = 20163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84348 / 20163 ti = "17/84348/20163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84348/20163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84348 ÷ 217
    84348 ÷ 131072     		x = 0.643524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20163 ÷ 217
    20163 ÷ 131072     		y = 0.153831481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643524169921875 × 2 - 1) × π
    0.28704833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90178896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153831481933594 × 2 - 1) × π
    0.692337036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17504094646081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90178896} λ = 0.90178896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17504094646081))-π/2
    2×atan(8.80254554789477)-π/2
    2×1.45767778810531-π/2
    2.91535557621062-1.57079632675     		φ = 1.34455925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90178896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.668701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34455925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.037570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84348 KachelY 20163 0.90178896 1.34455925 51.668701 77.037570
    Oben rechts KachelX + 1 84349 KachelY 20163 0.90183689 1.34455925 51.671448 77.037570
    Unten links KachelX 84348 KachelY + 1 20164 0.90178896 1.34454850 51.668701 77.036954
    Unten rechts KachelX + 1 84349 KachelY + 1 20164 0.90183689 1.34454850 51.671448 77.036954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34455925-1.34454850) × R
    1.07500000001703e-05 × 6371000     		dl = 68.4882500010853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34455925-1.34454850) × R
    1.07500000001703e-05 × 6371000     		dr = 68.4882500010853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90178896-0.90183689) × cos(1.34455925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224312086277434 × 6371000     		do = 68.4963940192545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90178896-0.90183689) × cos(1.34454850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22432256232611 × 6371000     		du = 68.4995930067444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34455925)-sin(1.34454850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224312086277434-0.22432256232611)×R²
    abs(0.90183689-0.90178896)×1.04760486755173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04760486755173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04760486755173e-05×40589641000000     		ar = 4691.30770443883m²