Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84342 / 20136
↖ ↑ ↗
← N 77.054194°
E 51.652221°		 ← 68.42 m → N 77.054194°
E 51.654968°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.053579°
E 51.652221°		 ← 68.43 m →
4 682 m²		 N 77.053579°
E 51.654968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643482208251953 y=0.153629302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643482208251953 × 217)
    floor (0.643482208251953 × 131072)
    floor (84342.5)     		tx = 84342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153629302978516 × 217)
    floor (0.153629302978516 × 131072)
    floor (20136.5)     		ty = 20136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84342 / 20136 ti = "17/84342/20136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84342/20136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84342 ÷ 217
    84342 ÷ 131072     		x = 0.643478393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20136 ÷ 217
    20136 ÷ 131072     		y = 0.15362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643478393554688 × 2 - 1) × π
    0.286956787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90150133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15362548828125 × 2 - 1) × π
    0.6927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17633524275055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90150133} λ = 0.90150133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17633524275055))-π/2
    2×atan(8.81394602614453)-π/2
    2×1.45782285974445-π/2
    2.91564571948891-1.57079632675     		φ = 1.34484939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90150133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.652221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34484939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.054194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84342 KachelY 20136 0.90150133 1.34484939 51.652221 77.054194
    Oben rechts KachelX + 1 84343 KachelY 20136 0.90154927 1.34484939 51.654968 77.054194
    Unten links KachelX 84342 KachelY + 1 20137 0.90150133 1.34483865 51.652221 77.053579
    Unten rechts KachelX + 1 84343 KachelY + 1 20137 0.90154927 1.34483865 51.654968 77.053579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34484939-1.34483865) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34484939-1.34483865) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90150133-0.90154927) × cos(1.34484939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224029330372691 × 6371000     		do = 68.4243240107387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90150133-0.90154927) × cos(1.34483865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224039797374772 × 6371000     		du = 68.427520902595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34484939)-sin(1.34483865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224029330372691-0.224039797374772)×R²
    abs(0.90154927-0.90150133)×1.04670020813213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04670020813213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04670020813213e-05×40589641000000     		ar = 4682.0122682597m²